【二叉树】数中的特殊结构->堆


✨目录

  1. 树概念及结构
  2. 二叉树概念及结构
  3. 二叉树的顺序结构及实现
  4. 堆的实现与应用

现实生活中的二叉树

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第1张图片


1.树概念及结构


1.1树的概念

  • 树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
    为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
    【二叉树】数中的特殊结构->堆_第2张图片
  1. 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点
  2. 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合
    Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继,
    因此,树是递归定义的
  • 注意树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
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1.2 树的相关概念

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名称 概念
节点的度 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
叶节点或终端节点 ** 度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点**
非终端节点或分支节点 度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点 若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
兄弟节点 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度 一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
节点的层次 从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推
树的高度或深度 树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
堂兄弟节点 双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
节点的祖先 从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
子孙 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林 由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林

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1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间
的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第6张图片

1.4 树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)

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2.二叉树概念及结构


2.1概念

  • 一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合
    或者为空,或者由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第8张图片

从上图可以看出:

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
  • 注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

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2.2 特殊的二叉树

  1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是
    说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。

  2. . 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
    的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
    应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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2.3 二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(h-1) 个结点.
  2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h -1.
  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0= n2+1
  4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=log(n+1) . (ps: 是log以2为底,n+1为对数)
  • . 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对
    于序号为i的结点有:
    1.若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点
    2 若2i+1=n否则无左孩子
    3.若2i+2=n否则无右孩子

关于性质三一道题目:

  • 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
    A 不存在这样的二叉树
    B 200
    C 198
    D 199

答案:A
解析:对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0= n2+1

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。

  1. 顺序存储
    顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空
    间的浪费。而现实中使用中只有才会使用数组来存储,二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第11张图片

  1. 链式存储
    二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
    链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
    在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第12张图片

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
	struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType data; // 当前节点值域
}

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段

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3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { , , ,…, },把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中,并满足: <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0,1,2…,则称为小堆(或大堆)。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质:

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;
  • 堆总是一棵完全二叉树。

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第14张图片

注意:堆只规定了父节点比孩子节点的关系,并没有规定左右孩子之间的关系

3.3 堆的实现


3.2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组,逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提:左右子树必须是一个堆,才能调整。

								int arr[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };//物理结构是数组,逻辑结构是完全二叉树

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第15张图片

//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{
		//建小堆找小的那个孩子,建大堆找的大的孩子
		if (midchild + 1 < n && a[midchild] > a[midchild + 1])//建小堆
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] > a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.2.2堆的创建

下面我们给出一个数组,这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树,但是还不是一个堆,现在我们通过算
法,把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆,我们怎么调整呢?这里我们从倒数的第一个非叶子节点的
子树开始调整,一直调整到根节点的树,就可以调整成堆。

                                      int arr[] = { 1,5,3,8,7,6 };

堆的创建可以使用向下调整算法,也可以使用向上调整算法,这里演示一下向上调整算法的实现过程
【二叉树】数中的特殊结构->堆_第16张图片

#include
//交换元素
void Swap(int* e1, int* e2)
{
	int tem = *e1;
	*e1 = *e2;
	*e2 = tem;
}

//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{
		//建小堆找小的那个孩子,建大堆找的大的孩子
		if (midchild + 1 < n && a[midchild] < a[midchild + 1])
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] < a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);//交换
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//向上调整算法
void AdjustUp(int* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] < a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

int main()
{
	int arr[] = { 1,5,3,8,7,6 };
	int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	//方法一:向下调整算法
	//从最后一个非叶子节点开始调整,最后一个非叶子节点就是最后一个节点的父亲,
	//parent=(child-1)/2,  这里的最后一个元素为n-1,所以child=n-1,故parent=(n-1-1)/2
	for (int i = (n - 1-1)/2; i >= 0; --i)//建大堆
	{
		AdjustDown(arr,n, i);
	}


//方法二:向上调整算法
//注意,向上调整算法是从数值一个元素开始
//	for (int i = 0; i < n;  ++i)//建大堆
//	{
//		AdjustUp(arr, i);
//	}


	for (int i = 0; i <n; ++i)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
}

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第17张图片

既然向上调整算法和向下调整算法都可以建堆,那我们应该使用那一种呢?

建议使用向下调整算法,因为它的时间复杂度为O(N),向上调整算法的时间复杂度为
N*log(N),(以2为底的对数)

3.2.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树,而满二叉树也是完全二叉树,此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值,多几个节点不影响最终结果):

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3.2.4 堆的插入

  • 假设:向堆中插入一个10
    操作过程:先插入一个10到数组的尾上,再进行向上调整算法,直到满足堆

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3.2.5 堆的删除

  • 删除堆是删除堆顶的数据,将堆顶的数据根最后一个数据一换,然后删除数组最后一个数据,再进行向下调
    整算法。

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第20张图片

3.2.6 堆的代码实现

//头文件Heap.h
#pragma once

#include
#include
#include
#include
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;//有效个数
	int capacity;//堆的容量
}Heap;

//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php);
//堆的销毁
void HeapDestroy(Heap* php);
//堆的打印
void HeapPrint(Heap* php);
//堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x);
//堆的删除
void HeapPop(Heap* php);
//返回堆顶元素
HPDataType HeapTop(Heap* php);
//返回堆的元素个数
int HeapSize(Heap* php);
//判断堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* php);


//函数实现文件Heap.c
#include"Heap.h"

void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

void HeapDestroy(Heap* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

void Swap(HPDataType* x1, HPDataType* x2)
{
	HPDataType tem = *x1;
	*x1 = *x2;
	*x2 = tem;
}

//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent= (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tem = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if(tem==NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->a = tem;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a,php->size-1);
}

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{	
		// 找出小的那个孩子
		if (midchild +1< n && a[midchild] > a[midchild + 1])
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] > a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}

int HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

void HeapPrint(Heap* php)
{
	assert(php);
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

4.堆的实现与应用


4.1 堆排序

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树(堆)这种数据结构所设计的一种排序算法,它是选择排序的一种。它是
通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆,排降序建小堆。

堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:

  1. 建堆
  • 升序:建大堆
  • 降序:建小堆
  1. 利用堆删除思想来进行排序

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第21张图片

#include
void Swap(int* e1, int* e2)
{
	int tem = *e1;
	*e1 = *e2;
	*e2 = tem;
}
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{
		//建小堆找小的那个孩子,建大堆找的大的孩子
		if (midchild + 1 < n && a[midchild] < a[midchild + 1])
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] < a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建堆
	int i = 0;
	for (i = (n-2)/2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		Swap(&a[0], &a[n - i - 1]);
		AdjustDown(a, n - i-1, 0);
	}
}


int main()
{
	int arr[] = { 30,60,12,40,8,10,70 };
	int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	HeapSort(arr,n);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
}

【二叉树】数中的特殊结构->堆_第22张图片

4.2 TOP-K问题

  • TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。
    比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等

对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆(适用于数据量较小的时候)
    . 在这里插入图片描述

  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素注意:当数据量大的时候最适合用这种方法

  • 实例:我们在10000个数选出最大的前10个元素
#include
#include
#include

void Swap(int* e1, int* e2)
{
	int tem = *e1;
	*e1 = *e2;
	*e2 = tem;
}

//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{
		//建小堆找小的那个孩子,建大堆找的大的孩子
		if (midchild + 1 < n && a[midchild] > a[midchild + 1])
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] > a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);//交换
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}


//咱们求最大的前10个数
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	// 1. 建堆--用a中前k个元素建小堆
	int i = 0;
	for (i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, k, i);
	}
	
// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换,不满则则替换
	for (i = k; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > a[0])//建小堆的意义在这,把大于堆顶的元素入堆
		{
			a[0] = a[i];
			AdjustDown(a, k, 0);//重新将数组首元素这个位置向下调整,使其成为小堆
		}
	}
	printf("\n前Top10分别为:");
	for (i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
}

void TestTopk()
{
	int n = 10000;
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	srand( (unsigned int )time(0));
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		a[i] = rand() % 1000000;//制造10000个小于1000000的随机数
	}
	//手动将大于1000000的数加上,不出意外,等下选出的就是这些数,因为他们是前top10
	a[5] = 1000000 + 1;
	a[1231] = 1000000 + 2;
	a[531] = 1000000 + 3;
	a[5121] = 1000000 + 4;
	a[115] = 1000000 + 5;
	a[2335] = 1000000 + 6;
	a[9999] = 1000000 + 7;
	a[76] = 1000000 + 8;
	a[423] = 1000000 + 9;
	a[3144] = 1000000 + 10;
	PrintTopK(a, n, 10);
	free(a);
}


int main()
{
	TestTopk();

	return 0;
}

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