✨目录
- 树概念及结构
- 二叉树概念及结构
- 二叉树的顺序结构及实现
- 堆的实现与应用
名称 | 概念 |
---|---|
节点的度 | 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6 |
叶节点或终端节点 | ** 度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点** |
非终端节点或分支节点 | 度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支节点 |
双亲节点或父节点 | 若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点 |
孩子节点或子节点 | 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点 |
兄弟节点 | 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点 |
树的度 | 一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6 |
节点的层次 | 从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推 |
树的高度或深度 | 树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4 |
堂兄弟节点 | 双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点 |
节点的祖先 | 从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先 |
子孙 | 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙 |
森林 | 由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林 |
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间
的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
从上图可以看出:
满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
关于性质三一道题目:
答案:A
解析:对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0= n2+1
二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。
typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType data; // 当前节点值域
};
普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
如果有一个关键码的集合K = { , , ,…, },把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中,并满足: <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0,1,2…,则称为小堆(或大堆)。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质:
注意:堆只规定了父节点比孩子节点的关系,并没有规定左右孩子之间的关系
现在我们给出一个数组,逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提:左右子树必须是一个堆,才能调整。
int arr[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };//物理结构是数组,逻辑结构是完全二叉树
//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
int midchild = parent * 2 + 1;
while (midchild < n)
{
//建小堆找小的那个孩子,建大堆找的大的孩子
if (midchild + 1 < n && a[midchild] > a[midchild + 1])//建小堆
{
midchild++;
}
if (a[parent] > a[midchild])
{
Swap(&a[parent], &a[midchild]);
parent = midchild;
midchild = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
下面我们给出一个数组,这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树,但是还不是一个堆,现在我们通过算
法,把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆,我们怎么调整呢?这里我们从倒数的第一个非叶子节点的
子树开始调整,一直调整到根节点的树,就可以调整成堆。
int arr[] = { 1,5,3,8,7,6 };
堆的创建可以使用向下调整算法,也可以使用向上调整算法,这里演示一下向上调整算法的实现过程
#include
//交换元素
void Swap(int* e1, int* e2)
{
int tem = *e1;
*e1 = *e2;
*e2 = tem;
}
//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
int midchild = parent * 2 + 1;
while (midchild < n)
{
//建小堆找小的那个孩子,建大堆找的大的孩子
if (midchild + 1 < n && a[midchild] < a[midchild + 1])
{
midchild++;
}
if (a[parent] < a[midchild])
{
Swap(&a[parent], &a[midchild]);//交换
parent = midchild;
midchild = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
//向上调整算法
void AdjustUp(int* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[parent] < a[child])
{
Swap(&a[parent], &a[child]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
int main()
{
int arr[] = { 1,5,3,8,7,6 };
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
//方法一:向下调整算法
//从最后一个非叶子节点开始调整,最后一个非叶子节点就是最后一个节点的父亲,
//parent=(child-1)/2, 这里的最后一个元素为n-1,所以child=n-1,故parent=(n-1-1)/2
for (int i = (n - 1-1)/2; i >= 0; --i)//建大堆
{
AdjustDown(arr,n, i);
}
//方法二:向上调整算法
//注意,向上调整算法是从数值一个元素开始
// for (int i = 0; i < n; ++i)//建大堆
// {
// AdjustUp(arr, i);
// }
for (int i = 0; i <n; ++i)
{
printf("%d ", arr[i]);
}
return 0;
}
既然向上调整算法和向下调整算法都可以建堆,那我们应该使用那一种呢?
建议使用向下调整算法,因为它的时间复杂度为O(N),向上调整算法的时间复杂度为
N*log(N),(以2为底的对数)
因为堆是完全二叉树,而满二叉树也是完全二叉树,此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值,多几个节点不影响最终结果):
//头文件Heap.h
#pragma once
#include
#include
#include
#include
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;
int size;//有效个数
int capacity;//堆的容量
}Heap;
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php);
//堆的销毁
void HeapDestroy(Heap* php);
//堆的打印
void HeapPrint(Heap* php);
//堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x);
//堆的删除
void HeapPop(Heap* php);
//返回堆顶元素
HPDataType HeapTop(Heap* php);
//返回堆的元素个数
int HeapSize(Heap* php);
//判断堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* php);
//函数实现文件Heap.c
#include"Heap.h"
void HeapInit(Heap* php)
{
assert(php);
php->a = NULL;
php->capacity = php->size = 0;
}
void HeapDestroy(Heap* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = php->size = 0;
}
void Swap(HPDataType* x1, HPDataType* x2)
{
HPDataType tem = *x1;
*x1 = *x2;
*x2 = tem;
}
//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
assert(a);
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent= (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
assert(php);
if (php->capacity == php->size)
{
int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tem = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
if(tem==NULL)
{
perror("realloc fail");
exit(-1);
}
php->a = tem;
php->capacity = newcapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
AdjustUp(php->a,php->size-1);
}
//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
int midchild = parent * 2 + 1;
while (midchild < n)
{
// 找出小的那个孩子
if (midchild +1< n && a[midchild] > a[midchild + 1])
{
midchild++;
}
if (a[parent] > a[midchild])
{
Swap(&a[parent], &a[midchild]);
parent = midchild;
midchild = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPop(Heap* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
return php->a[0];
}
int HeapSize(Heap* php)
{
assert(php);
return php->size;
}
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
void HeapPrint(Heap* php)
{
assert(php);
for (int i = 0; i < php->size; i++)
{
printf("%d ", php->a[i]);
}
printf("\n");
}
堆排序(Heapsort)是指利用堆积树(堆)这种数据结构所设计的一种排序算法,它是选择排序的一种。它是
通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆,排降序建小堆。
堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:
#include
void Swap(int* e1, int* e2)
{
int tem = *e1;
*e1 = *e2;
*e2 = tem;
}
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
int midchild = parent * 2 + 1;
while (midchild < n)
{
//建小堆找小的那个孩子,建大堆找的大的孩子
if (midchild + 1 < n && a[midchild] < a[midchild + 1])
{
midchild++;
}
if (a[parent] < a[midchild])
{
Swap(&a[parent], &a[midchild]);
parent = midchild;
midchild = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
int i = 0;
for (i = (n-2)/2; i >= 0; --i)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
for (i = 0; i < n; i++)
{
Swap(&a[0], &a[n - i - 1]);
AdjustDown(a, n - i-1, 0);
}
}
int main()
{
int arr[] = { 30,60,12,40,8,10,70 };
int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
HeapSort(arr,n);
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
printf("%d ", arr[i]);
}
return 0;
}
对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:
#include
#include
#include
void Swap(int* e1, int* e2)
{
int tem = *e1;
*e1 = *e2;
*e2 = tem;
}
//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
int midchild = parent * 2 + 1;
while (midchild < n)
{
//建小堆找小的那个孩子,建大堆找的大的孩子
if (midchild + 1 < n && a[midchild] > a[midchild + 1])
{
midchild++;
}
if (a[parent] > a[midchild])
{
Swap(&a[parent], &a[midchild]);//交换
parent = midchild;
midchild = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
//咱们求最大的前10个数
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
// 1. 建堆--用a中前k个元素建小堆
int i = 0;
for (i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
{
AdjustDown(a, k, i);
}
// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换,不满则则替换
for (i = k; i < n; i++)
{
if (a[i] > a[0])//建小堆的意义在这,把大于堆顶的元素入堆
{
a[0] = a[i];
AdjustDown(a, k, 0);//重新将数组首元素这个位置向下调整,使其成为小堆
}
}
printf("\n前Top10分别为:");
for (i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", a[i]);
}
}
void TestTopk()
{
int n = 10000;
int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
srand( (unsigned int )time(0));
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
a[i] = rand() % 1000000;//制造10000个小于1000000的随机数
}
//手动将大于1000000的数加上,不出意外,等下选出的就是这些数,因为他们是前top10
a[5] = 1000000 + 1;
a[1231] = 1000000 + 2;
a[531] = 1000000 + 3;
a[5121] = 1000000 + 4;
a[115] = 1000000 + 5;
a[2335] = 1000000 + 6;
a[9999] = 1000000 + 7;
a[76] = 1000000 + 8;
a[423] = 1000000 + 9;
a[3144] = 1000000 + 10;
PrintTopK(a, n, 10);
free(a);
}
int main()
{
TestTopk();
return 0;
}