量化金融-分类数据的检验

量化金融–假设检验3-分类数据的检验

分类型数据的介绍

分类型数据也称为频数数据。在数据样本中，我们称落入某一个特定分组的样本数量为频数；当分组的维度只有1时，我们称这样的数据为单因素频数表；当分组的维度为2时，我们称这样的数据为列联表数据。

常用的检验方法

用于分类型数据的方法有很多：卡方检验、Fisher检验、McNermr检验、Cochran’s Q检验，本文将重点讲述卡方检验与Fisher检验两种方法。

卡方检验、Fisher检验方法的分析

原理介绍

卡方检验与Fisher检验都是分析频数表中绝对频数与期望频数的偏差程度，对于它们而言，检验的两个假设分别为
$$H0:绝对频数与期望频数没有差别\leftrightarrow H1:绝对频数与期望频数存在差别$$
那么，绝对频数和期望频数是什么呢？

对于一个给定的频数表而言，我们称其中的频数为绝对频数，记为 $o_i$ ， 为频数表中格子的序号（或者行列位置）。在上面的单因素频数表中，骰子点数1的绝对频数为 $o_1=18$ ；在双因素列联表中，男性左利手的绝对频数为 $o_{11}=43$。

而期望频数则根据我们进行卡方/Fisher检验的用途变化而变化，记为 $e_i$ 。例如，在列联表独立性检验中，每个格子的期望频数就是这个格子在表格中的“期望值”（我们后面会解释这个概念）；在特定分布的拟合优度检验中，期望频数就是特定分布在每个取值区间下的频数。
如果绝对频数与期望频数的差值越小，则两者越接近，我们越不能拒绝原假设。基于此，卡方检验构造了下述检验统计量：
$$statistics=\sum _i\frac{{\left(o_i-e_i\right)}^2}{e_i}$$
而该统计量近似服从卡方分布（在大样本下）：
$$statistics\sim {\chi }_f^2$$
其中，$f$为自由度。对于有n个格子的单因素频数表而言，$f=n-1$；对于$r\times c$的双因素列联表而言，$f=\left( r-1 \right) \left( c-1 \right) $

p值计算规则为：
$$pvalue=P\left({\chi }_f^2>Teststatistics\right)$$
我们注意到，卡方检验中的检验统计量是近似服从而非精确服从卡方分布，只有在大样本下（绝对频数与期望频数都很大）的情况下，卡方检验的精确度才高，而在小样本下，卡方检验的效用不及Fisher检验。相比于卡方检验这种“近似的”检验，Fisher检验是一种精确的检验，但是它的计算要比卡方检验复杂。不过幸运的是，在计算机面前这并不是问题。
两者的适用范围如下:

卡方检验

卡方检验适用于单因素频数表、双因素频数表中的$2\times 2$与$r\times c$列联表。

单因素频数表

1. 在单因素频数表中，每一类的绝对频数$o_i$不能小于5。

$2\times 2$列联表
2. 样本总量$\sum o_i>40$，且所有期望频数$e_i>5$，可使用Pearson卡方检验
3. 样本总量$\sum o_i>40$，但存在期望频数$1<e_i<5$，可使用连续型校正的卡方检验
4. 若样本总量$\sum o_i<40$，或存在期望频数$1<e_i$，建议使用Fisher检验

$r\times c$列联表
5. 表中期望频数$e_i<5$的格子不能超过1/5。
6. 不得出现期望频数$1<e_i$的情况。

Fisher检验

Fisher检验仅仅适用于双因素频数表中的$2\times 2$列联表。

Fisher检验在$2\times 2$列联表中适用范围内很广，弥补了卡方检验的缺点。
总结一下，卡方检验在多种频数表中都可以应用，但要注意绝对频数与理论频数是否过低；Fisher检验只适用于$2\times 2$列联表，但是在该表中的精确度与适用性都优于卡方检验。因此在$2\times 2$列联表中，我推荐大家使用Fisher检验；在其他表格中使用卡方检验。