傅里叶变换在图像处理中的应用初步学习

1 理解傅里叶变换在图像处理中的应用

 

一维傅里叶变换的作用对象是信号，信号是一维连续的；随着时间不断推移，信号强度的变换情况，可称为时域。

图像处理中的傅里叶变换的作用对象是二维矩阵。随着位置的不断改变，灰度值大小发生变化。可称为“距离-灰度变化图”。

一维傅里叶变换的原理可以通俗的理解为：将一个复杂无规律的信号拆分成多个简单有规律的子信号来表示。
为了定量表示这个结果，以横轴为频率大小，纵轴为振幅（即信号的最高强度），此图称为信号的频谱。
频谱中的每个点在时域中都对应一个函数；频谱和时域的对应关系是点与线。

那要如何定量表达众多分解后的子图像呢？
图像的频谱中频率是(xy轴构成的)平面。距离原点越远，则频率越大。因此，窗口边缘处即为高频区域，原点周边即为低频区域。
图像频谱中的一个点对应子图像的一整张距离-灰度变化图。
信号频谱中的y轴反应子信号，信号强度的变化范围；图像频谱中的z轴反应子图像的灰度值的变化范围。频谱窗口中对应的点越亮，则说明该点对应频率的变化范围越大。

低通滤波能保留图像的大致轮廓信息是因为，一张图像所记录到的主要信息（由于受到关照等必然因素的影响）在图像上灰度值的变化是缓慢的，因此主要信息集中在低频区域。而噪音等偶然因素是突然附加到图像上使得灰度值快速变化，而且密密麻麻，这导致N个像元内，灰度值的变化不仅频繁，而且变化的范围还很大。因此，噪音就位于图像频谱的高频区域，表现为高灰度值。

2 傅里叶变换在图像处理中的应用

 

傅立叶变换在图像处理中，被广泛应用于图像增强与图像去噪、图像分割之边缘检测、图像特征提取（形状、纹理）、图像压缩等方面。
 
基于傅里叶变换的图像增强
在图像处理中，图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合；低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息。
高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过。
低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过。 

图像频域滤波增强技术是在频率域空间对图像进行滤波，因此需要将图像从空间域通过傅里叶变换频率域，具体操作如下： 
    假定原图像f(x,y)，经傅里叶变换为F(u,v)，频率域增强就是选择合适的滤波器函数H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行调整，然后经逆傅里叶变换得到增强的图像g(x,y)。该过程可以通过下面的流程描述： 
    a 对原始图像f(x,y)进行傅里叶变换得到F(u,v)；
    b 将F(u,v)与传递函数H(u,v)进行卷积运算得到g(u,v)；
    c 将g(u,v)进行傅里叶逆变换得到增强图像g(x,y)。 

频域滤波的核心在于如何确定传递函数，即H(u,v)。常用的频率域低通滤波器H(u,v)有4种。理想低通滤波器、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器、指数低通滤波器、梯形低通滤波器。