poj1061 青蛙的约会 && poj 2115 C Looooops<扩展欧几里得>

链接 ：http://poj.org/problem?id=1061 青蛙的约会

　　　http://poj.org/problem?id=2115  C Looooops

首先我们先讨论欧几里得算法 （ gcd ):

gcd( a, b )即求两个数的最大公约数

递归算法： 

int gcd( int a, int b )
{
　　return b==0?a:gcd( b, a%b );  //gcd(a,b) = gcd(a%b,b)，这个递归一次以后就终止了无法保证a b可以继续减小，所以把 b 和 a%b交换顺序。
}

非递归算法：

int gcd( int a, int b )
{
　　if( b==0 )return 0;
　　while(b)
　　{
　　　　int t=a%b;
　　　　a=b;
　　　　b=t;
　　}
　　return a;

}

现在我们讨论算法的正确性，即证明gcd(a,b)==gcd(b,a%b),我们只要证明gcd(a,b)==gcd(a-b,b)即可，因为可以由此逐步扩展为gcd(a,b) == gcd(a-k*b,b),而 gcd(a-k*b,b)==gcd(a%b,b)。
因为a,b的公约数必然是a-b,b的公约数故 gcd(a,b) <= gcd(a-b,b);另a-b b的公约数也必然是a b的公约数，gcd(a,b) >= gcd(a-b,b).所以gcd(a,b) == gcd(a-b,b)。

再说扩展欧几里得:

扩展欧几里德算法是用来求解a*x+b*y==gcd(a,b)这样的方程的。同样利用gcd(a,b)==gcd(b,a%b)把a*x+b*y==gcd( a, b )转化为b*x'+(a%b)*y'==gcd( b, a%b );

根据递归的思想，假设现在我们已经求出了x' y',剩下的关键就是如何用x' y'求出x y.我们观察gcd(b,a%b) = b*x'+(a%b)*y'，只要把右边重新写成 a*x+b*y 的形式就行了，所以需要对b*x'+（a%b）*y'进行变形，因为a%b == a-a/b*b,故b*x'+(a%b)y' = b*x'+(a-a/b*b)y' == a*y' + b*(x'-a/b*y') .

这样便可得出 x = y' y = x'-a/b*y'。

所以扩展gcd的递归算法为

LL exgcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y )
{
　　LL d, t;
　　if( b==0 )
　　{
　　　　x=1, y=0;
　　　　return a;
　　}
　　d=exgcd( b, a%b, x, y );
　　t=x, x=y, y=t-a/b*y;
　　return d;  　　　　　　// 返回gcd( a, b );
}

 这样我们就得到了方程的解 :

x==x0+b*t;　　　　//    特解+通解

y==y0+a*t; 

然后再看一般形式 a*x+b*y==c;

当且仅当 c%gcd( a,b )==0时方程才有解。

a*x+b*y==c的求解可以先求出a*x+b*y=gcd(a,b),然后将x y扩大c/gcd(a,b)倍就可以了。

 

View Code

 1 /*

 2 

 3 poj1061

 4 

 5 */

 6 #include <stdio.h>

 7 typedef long long LL;

 8 LL gcd( LL a, LL b )

 9 {

10     return b==0?a:gcd( b, a%b );

11 }

12 void exgcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y )

13 {

14     if( b==0 )

15     {

16         x=1, y=0;

17         return ;    

18     }

19     exgcd( b, a%b, x, y );

20     LL t=x;

21     x=y;

22     y=t-a/b*y;

23 }

24 

25 int main( )

26 {

27     LL x, y, m, n, l;

28     LL a, b, c, k1, k2, r;

29     while( scanf( "%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &l )!= EOF )

30     {

31         a=n-m, c=x-y;

32         r=gcd( a, l );

33         if( c%r )

34         {

35             puts( "Impossible" );

36             continue;     

37         }

38         a/=r, l/=r, c/=r ;

39         exgcd( a, l, k1, k2 );

40         LL t=c*k1/l;

41         k1=c*k1-t*l;

42         if( k1<0 )

43             k1 += l;

44         printf( "%lld\n", k1 );    

45     }

46     return 0;

47 }

View Code

 1 /*

 2 

 3 poj2115

 4 

 5 */

 6 #include <stdio.h>

 7 typedef long long LL;

 8 LL exgcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y )

 9 {

10     LL d, t;

11     if( b==0 )

12     {

13         x=1, y=0;

14         return a;    

15     }

16     d=exgcd( b, a%b, x, y );

17     t=x, x=y, y=t-a/b*y;

18     return d;

19 }

20 

21 // (a+c*m)%2^k=b ==> c*m-n*2^k=b-a;

22 int main( )  

23 {  

24     LL A,B,C,k, a, b, c, x, y, n;  

25     while(scanf("%lld %lld %Illd %lld",&A,&B,&C,&k))  

26     {  

27         if(!A && !B && !C && !k)  

28             break;  

29   

30         a=C, b=B-A, n=(LL)1<<k;  //2^k   

31         LL d=exgcd(a,n,x,y);  //求a,n的最大公约数d=gcd(a,n)和方程d=ax+by的系数x、y  

32         if(b%d!=0)  //方程 ax=b(mod n) 无解  

33            puts("FOREVER"); 

34         else  

35         {  

36             x=(x*(b/d))%n;  //方程ax=b(mod n)的最小解  

37             x=(x%(n/d)+n/d)%(n/d);  //方程ax=b(mod n)的最整数小解  

38             printf("%lld\n",x);  

39         }  

40     }  

41     return 0;  

42 }