排序四 希尔排序

要点

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希尔(Shell)排序又称为缩小增量排序，它是一种插入排序。它是直接插入排序算法的一种威力加强版。

该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。

 

希尔排序的 基本思想是：
把记录按 步长 gap 分组，对每组记录采用 直接插入排序方法进行排序。
随着 步长逐渐减小，所分成的组包含的记录越来越多，当步长的值减小到 1 时，整个数据合成为一组，构成一组有序记录，则完成排序。

 

我们来通过演示图，更深入的理解一下这个过程。

在上面这幅图中：

初始时，有一个大小为 10 的无序序列。

在第一趟排序中，我们不妨设 gap1 = N / 2 = 5，即相隔距离为 5 的元素组成一组，可以分为 5 组。

接下来，按照直接插入排序的方法对每个组进行排序。

在第二趟排序中，我们把上次的 gap 缩小一半，即 gap2 = gap1 / 2 = 2 (取整数)。这样每相隔距离为 2 的元素组成一组，可以分为 2 组。

按照直接插入排序的方法对每个组进行排序。

在第三趟排序中，再次把 gap 缩小一半，即gap3 = gap2 / 2 = 1。 这样相隔距离为 1 的元素组成一组，即只有一组。

按照直接插入排序的方法对每个组进行排序。此时， 排序已经结束。

需要注意一下的是，图中有两个相等数值的元素 5 和 5 。我们可以清楚的看到，在排序过程中，两个元素位置交换了。

所以，希尔排序是不稳定的算法。

核心代码

public  void shellSort( int[] list) {
     int gap = list.length / 2;

     while (1 <= gap) {
         //  把距离为 gap 的元素编为一个组，扫描所有组
         for ( int i = gap; i < list.length; i++) {
             int j = 0;
             int temp = list[i];

             //  对距离为 gap 的元素组进行排序
             for (j = i - gap; j >= 0 && temp < list[j]; j = j - gap) {
                list[j + gap] = list[j];
            }
            list[j + gap] = temp;
        }

        gap = gap / 2;  //  减小增量
    }
}

 

 

算法分析

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希尔排序的算法性能

排序类别	排序方法	时间复杂度			空间复杂度	稳定性	复杂性
		平均情况	最坏情况	最好情况
插入排序	希尔排序	O(Nlog 2N)	O(N 1.5)		O(1)	不稳定	较复杂

 

时间复杂度

步长的选择是希尔排序的重要部分。只要最终步长为1任何步长序列都可以工作。

算法最开始以一定的步长进行排序。然后会继续以一定步长进行排序，最终算法以步长为1进行排序。当步长为1时，算法变为插入排序，这就保证了数据一定会被排序。
Donald Shell 最初建议步长选择为N/2并且对步长取半直到步长达到1。虽然这样取可以比O(N²)类的算法（插入排序）更好，但这样仍然有减少平均时间和最差时间的余地。可能希尔排序最重要的地方在于当用较小步长排序后，以前用的较大步长仍然是有序的。比如，如果一个数列以步长5进行了排序然后再以步长3进行排序，那么该数列不仅是以步长3有序，而且是以步长5有序。如果不是这样，那么算法在迭代过程中会打乱以前的顺序，那就不会以如此短的时间完成排序了。

步长序列	最坏情况下复杂度

已知的最好步长序列是由Sedgewick提出的(1, 5, 19, 41, 109,...)，该序列的项来自

这两个算式。

这项研究也表明“比较在希尔排序中是最主要的操作，而不是交换。”用这样步长序列的希尔排序比插入排序和堆排序都要快，甚至在小数组中比快速排序还快，但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。

 

算法稳定性

由上文的 希尔排序算法演示图即可知，希尔排序中相等数据可能会交换位置，所以希尔排序是 不稳定的算法。

 

直接插入排序和希尔排序的比较

直接插入排序是稳定的；而希尔排序是不稳定的。

 

直接插入排序更适合于原始记录基本有序的集合。

希尔排序的比较次数和移动次数都要比直接插入排序少，当N越大时，效果越明显。  

在希尔排序中，增量序列gap的取法必须满足：最后一个步长必须是 1 。 

 

直接插入排序也适用于链式存储结构；希尔排序不适用于链式结构。

 

完整参考代码

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JAVA版本
代码实现

范例代码中的初始序列和本文图示中的序列完全一致。

 1  public  class ShellSort {
 2     
 3      public  void shellSort( int[] list) {
 4          int gap = list.length / 2;
 5 
 6          while (1 <= gap) {
 7              //  把距离为 gap 的元素编为一个组，扫描所有组
 8               for ( int i = gap; i < list.length; i++) {
 9                  int j = 0;
10                  int temp = list[i];
11 
12                  //  对距离为 gap 的元素组进行排序
13                   for (j = i - gap; j >= 0 && temp < list[j]; j = j - gap) {
14                     list[j + gap] = list[j];
15                 }
16                 list[j + gap] = temp;
17             }
18 
19             System.out.format("gap = %d:\t", gap);
20             printAll(list);
21             gap = gap / 2;  //  减小增量
22          }
23     }
24 
25      //  打印完整序列
26       public  void printAll( int[] list) {
27          for ( int value : list) {
28             System.out.print(value + "\t");
29         }
30         System.out.println();
31     }
32 
33      public  static  void main(String[] args) {
34          int[] array = { 9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5 };
35 
36          //  调用希尔排序方法
37          ShellSort shell =  new ShellSort();
38         System.out.print("排序前:\t\t");
39         shell.printAll(array);
40         shell.shellSort(array);
41         System.out.print("排序后:\t\t");
42         shell.printAll(array);
43     }
44 
45 }

希尔排序之JAVA代码实现

 

运行结果

排序前:      9    1    2    5    7    4    8    6    3    5    
gap = 5:    4    1    2    3    5    9    8    6    5    7    
gap = 2:    2    1    4    3    5    6    5    7    8    9    
gap = 1:    1    2    3    4    5    5    6    7    8    9    
排序后:      1    2    3    4    5    5    6    7    8    9   

 

 

参考资料

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《数据结构习题与解析》（B级第3版）

维基百科-希尔排序：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E6%8E%92%E5%BA%8F

 

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