用高斯消元法(gauss)求解一类期望问题

http://acm.zjut.edu.cn/ShowProblem.aspx?ShowID=1423

Description:

由于山体滑坡，DK被困在了地下蜘蛛王国迷宫。为了抢在DH之前来到TFT，DK必须尽快走出此迷宫。此迷宫仅有一个出口，而由于大BOSS的力量减弱影响到了DK，使DK的记忆力严重下降，他甚至无法记得他上一步做了什么。所以他只能每次等概率随机的选取一个方向走。当然他不会选取周围有障碍的地方走。如DK周围只有两处空地，则每个都有1/2的概率。现在要求他平均要走多少步可以走出此迷宫。

Input:

先是一行两个整数N, M(1<=N, M<=10)表示迷宫为N*M大小，然后是N行，每行M个字符，'.'表示是空地，'E’表示出口，'D’表示DK，'X’表示障碍。      

Output:

如果DK无法走出或要超过1000000步才能走出，输出tragedy!，否则输出一个实数表示平均情况下DK要走几步可以走出迷宫，四舍五入到小数点后两位。

Sample Input:

1 2

ED

3 3

D.X

.X.

X.E

Sample Output:

1.00

tragedy!


首先对地图节点重新标号。
假设E[i]表示DK从i点开始走出迷宫的期望值。那么E[i]=(E[a1]+E[a2]+E[a3]+...+E[an])/n+1，其中a1...an是i的相邻节点。
那么对于每一个DK可达的节点来说，都可以为它建立这样的一个方程。
现在假设DK可达的点有N个，那么我们最终将会得到N元一次方程组。最后利用高斯消元解出E[No[S]]。其中S是DK的起点，No[S]是重标号后的起点
这里要重点注意的是，我们联立方程的时候，一定要注意DK可达这个条件，不然就会导致无解的情况。

View Code

  1 #include<iostream>

  2 #include<string>

  3 #include<cmath>

  4 #include<algorithm>

  5 using namespace std;

  6 #define MAXN 800

  7 

  8 double mat[MAXN][MAXN];

  9 char map[40][40];

 10 int num[40][40];

 11 

 12 struct node

 13 {

 14     int x;

 15     int y;

 16 };

 17 node Star,end;

 18 int n,m,len;

 19 int di[4][2]={1,0,0,1,-1,0,0,-1};

 20 int cut;

 21 

 22 int isok(int x,int y)

 23 {

 24     return x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && map[x][y]!='X';

 25 }

 26 

 27 node queue[2*MAXN];

 28 int head,tail;

 29 

 30 void fillnum(int x,int y) //对地图进行重新标号，标号从0开始

 31 {

 32     num[x][y]=++cut;

 33     tail=head=0;

 34     node e,q;

 35     e.x=x;e.y=y;

 36     queue[tail++]=e;

 37     while(head<tail)

 38     {

 39         e=queue[head++];

 40         for(int i=0;i<4;i++)

 41         {

 42             q.x=e.x+di[i][0];

 43             q.y=e.y+di[i][1];

 44             if(isok(q.x,q.y) && num[q.x][q.y]==-1)

 45             {

 46                 num[q.x][q.y]=++cut;

 47                 queue[tail++]=q;

 48             }

 49         }

 50     }

 51 }

 52 

 53 bool gauss(int n) 

 54 { 

 55     int i, j, row, idx; 

 56     double buf, maxx; 

 57     for(row = 0; row < n; row ++) 

 58     { 

 59         for(maxx = 0, i = row; i < n; i ++)

 60         { 

 61             if(maxx < fabs(mat[i][row])) 

 62             { 

 63                 maxx = fabs(mat[i][row]); 

 64                 idx = i; 

 65             } 

 66         } 

 67         if(maxx == 0)

 68             continue;

 69         if(idx != row) 

 70         { 

 71             for(i = row; i <= n; i ++) 

 72                 swap(mat[row][i], mat[idx][i]); 

 73         } 

 74         for(i = row + 1; i < n; i ++)

 75         { 

 76             if(fabs(mat[i][row])<1e-8)

 77                 continue;

 78             buf = mat[i][row] / mat[row][row]; 

 79             for(j = row; j <= n; j ++) 

 80                 mat[i][j] -= buf * mat[row][j]; 

 81         } 

 82     } 

 83     for(i = n - 1; i >= 0; i --) 

 84     { 

 85         for(j = i + 1; j < n; j ++) 

 86             mat[i][n] -= mat[i][j] * mat[j][j]; 

 87         mat[i][i] = mat[i][n] / mat[i][i]; 

 88     } 

 89     return true; 

 90 } 

 91 

 92 int main()

 93 {

 94     int i,j,k,x,y;

 95     freopen("D:\\in.txt","r",stdin);

 96     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

 97     {

 98         len=0;

 99         for(i=0;i<n;i++)

100         {

101             scanf("%s",map[i]);

102             for(j=0;j<m;j++)

103             {

104                 if(map[i][j]=='D')

105                 {

106                     Star.x=i;

107                     Star.y=j;

108                 }

109                 else if(map[i][j]=='E')

110                 {

111                     end.x=i;

112                     end.y=j;

113                 }

114             }

115         }

116         memset(num,255,sizeof(num));

117         cut=-1;

118         fillnum(Star.x,Star.y);

119         if(num[end.x][end.y]==-1)

120         {

121             printf("tragedy!\n");

122             continue;

123         }

124         memset(mat,0,sizeof(mat));

125         for(i=0;i<n;i++)  //建立N元一次方程组

126         {

127             for(j=0;j<m;j++)

128             {

129                 if(num[i][j]!=-1)

130                 {

131                     int now=num[i][j];

132                     int count=0;

133                     for(k=0;k<4;k++)

134                     {

135                         x=i+di[k][0];y=j+di[k][1];

136                         if(isok(x,y))

137                         {

138                             mat[now][num[x][y]]=-1;

139                             count++;

140                         }

141                         mat[now][now]=count;

142                         mat[now][cut+1]=count;

143                     }

144                 }

145             }

146         }

147         x=num[end.x][end.y];

148         memset(mat[x],0,sizeof(mat[x]));

149         mat[x][x]=1;

150         if(gauss(cut+1))

151         {

152             if(mat[num[Star.x][Star.y]][num[Star.x][Star.y]]<=1000000)

153                 printf("%0.2lf\n",mat[num[Star.x][Star.y]][num[Star.x][Star.y]]);

154             else

155                 printf("tragedy!\n");

156         }

157         else

158         {

159             printf("tragedy!\n");

160         }

161     }

162     return 0;

163 }

 

 

 

 

http://acm.zjut.edu.cn/ShowProblem.aspx?ShowID=1317

Description:

m个人位于正m边形的顶点上，彼此抛掷飞盘。他们共有两个飞盘，且开始时这两个飞盘位于相距为n的两个人的手中（相邻两个人相距为1，依此类推）。在每次抛掷时两个飞盘被同时抛出，飞盘都以1/2的概率被抛到掷飞盘的人左边相邻的人，1/2的概率被抛到右边相邻的人。此过程一直进行，直到两个飞盘被掷到同一个人手中，求此抛掷飞盘的游戏平均情况下(期望)会在抛掷几次后结束。

Input:

每行有两个整数m (2<m<=100)，n (0 < n < m)。

 

这题我们以两个飞盘的距离为状态进行转移。

那么E[n]=E[n+2]/4+E[n-2]/4+E[n]/2+1，化简成:2E[n]-E[n+2]-E[n-2]=4。

首先对于两个飞盘给定的起始距离n，我们可以先搜索一下可否到达状态0，如果不行，则直接输出INF。在搜索的过程中，顺便把重新标号也进行了。为什么这题也要重新标号呢？

因为该题中，假设m是偶数，那么对于任意的n，n+1和n-1都是不可达的状态。请一定记得，如果方程组中有不可达的点的话，就会导致无解的情况！

接下来对每一个可达的状态建立一个如上的方程，最后用高斯消元法解除E[No[n]]即可！

 

View Code

  1 #include<iostream>

  2 #include<string>

  3 #include<cmath>

  4 #include<stdio.h>

  5 #include<memory.h>

  6 #include<algorithm>

  7 using namespace std;

  8 #define maxn 200

  9 

 10 double mat[maxn][maxn];

 11 int num[maxn];

 12 int n,m;

 13 int cut;

 14 

 15 int getnum(int x) //获取x的状态，对于一个环来说，x和m-x是一样的，我们取小的

 16 {

 17     if(x<0)

 18         x=-x;

 19     if(x>n/2)

 20         x=n-x;

 21     return x;

 22 }

 23 

 24 void dfs(int x) //重标号

 25 {

 26     num[x]=cut++;

 27     int y=getnum(x+2);

 28     if(num[y]==-1)

 29         dfs(y);

 30     y=getnum(x-2);

 31     if(num[y]==-1)

 32         dfs(y);

 33 }

 34 

 35 bool gauss(int n) 

 36 { 

 37     int i, j, row, idx; 

 38     double buf, maxx; 

 39     for(row = 0; row < n; row ++) 

 40     { 

 41         for(maxx = 0, i = row; i < n; i ++)

 42         { 

 43             if(maxx < fabs(mat[i][row])) 

 44             { 

 45                 maxx = fabs(mat[i][row]); 

 46                 idx = i; 

 47             } 

 48         } 

 49         if(maxx == 0) return false; 

 50         if(idx != row) 

 51         { 

 52             for(i = row; i <= n; i ++) 

 53                 swap(mat[row][i], mat[idx][i]); 

 54         } 

 55         for(i = row + 1; i < n; i ++)

 56         { 

 57             buf = mat[i][row] / mat[row][row]; 

 58             for(j = row; j <= n; j ++) 

 59                 mat[i][j] -= buf * mat[row][j]; 

 60         } 

 61     } 

 62     for(i = n - 1; i >= 0; i --) 

 63     { 

 64         for(j = i + 1; j < n; j ++) 

 65             mat[i][n] -= mat[i][j] * mat[j][j]; 

 66         mat[i][i] = mat[i][n] / mat[i][i]; 

 67     } 

 68     return true; 

 69 } 

 70 

 71 int main()

 72 {

 73     int i,len;

 74     freopen("D:\\in.txt","r",stdin);

 75     while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)

 76     {

 77         memset(num,255,sizeof(num));

 78         if(m>n/2)

 79             m=n-m;

 80         cut=0;

 81         dfs(m);

 82 //         for(i=0;i<=n/2;i++)

 83 //             cout<<num[i]<<" ";

 84 //         cout<<endl;

 85         if(num[0]==-1)

 86         {

 87             printf("INF\n");

 88             continue;

 89         }

 90         memset(mat,0,sizeof(mat));

 91         len=n/2;

 92         int now,j;

 93         for(i=0;i<=len;i++)

 94         {

 95             if(num[i]!=-1)

 96             {

 97                 now=num[i];

 98                 mat[now][now]=2;

 99                 mat[now][cut]=4;

100                 j=getnum(i-2);

101                 mat[now][num[j]]-=1;

102                 j=getnum(i+2);

103                 mat[now][num[j]]-=1;

104             }

105         }

106         j=num[0];

107         memset(mat[j],0,sizeof(mat[j]));

108         mat[j][j]=1;

109 //         for(i=0;i<cut;i++)

110 //         {

111 //             for(j=0;j<=cut;j++)

112 //                 cout<<mat[i][j]<<" ";

113 //             cout<<endl;

114 //         }

115         if(gauss(cut))

116         {

117             printf("%0.2lf\n",mat[num[m]][num[m]]);

118         }

119         else

120         {

121             printf("INF\n");

122         }

123     }

124     return 0;

125 }