算法提高分类学习刷题——1.动态规划——1.2.最长上升子序列模型

最长上升子序列模型

1.最长上升子序列

题目描述

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1≤N≤1000，
−109≤数列中的数≤109
输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

解题思路

因为以i结尾的子序列，一定是由前i-1个数结尾的子序列长度加一取max
比如一个子序列a[j]a[i] ,那么当a[j]

代码实现

#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N],a[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=1;//当j=0，以i结尾的子序列只有a[i]，长度为1
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[j]<a[i])//只要a[j]
            f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[i]);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

2.怪盗基德的滑翔翼

题目描述

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。

而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。

不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

输入格式
输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。

输出格式
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

数据范围
1≤K≤100,
1≤N≤100,
0 输入样例：

3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10

输出样例：

6
6
9

解题思路

当基德选择往左滑时，其实就是求距离起点的最长上升子序列，当基德选择右滑时，其实就是求距离起点的最长下降子序列，最后再两个序列里找到最大值即可

代码实现

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=110;
int a[N],r[N],d[N];
int main()
{
    int t,n;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(r,0,sizeof r);
        memset(d,0,sizeof d);
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            r[i]=1,d[i]=1;
            for(int j=1;j<=i;j++)
            {
                if(a[j]<a[i]) r[i]=max(r[i],r[j]+1);//最长上升子序列
                if(a[j]>a[i]) d[i]=max(d[i],d[j]+1);//最长下降子序列
            }
        }
        int res=-1e8;
        for(int i=1;i<=n;i++)//找出最长的序列
        {
            res=max(res,r[i]);
            res=max(res,d[i]);
        }
        cout<<res<<endl;
            
    }
}

3.登山

题目描述

五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一共有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。

同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。

队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？

输入格式
第一行包含整数N，表示景点数量。

第二行包含N个整数，表示每个景点的海拔。

输出格式
输出一个整数，表示最多能浏览的景点数。

数据范围
2≤N≤1000
输入样例：

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出样例：

4

解题思路

这题不能像上一题一样同时求最长上升子序列和最长下降子序列，因为这道题求的是一个景点两个方向，已经成为最长上升子序列的景点不能再归到最长下降子序列里面去，我们以转折点来划分集合，求出以a[k]为转折点的像下图形状的子序列的最大值，因为两边其实互不干扰，我们只需求出以a[k]为终点的最长上升子序列和以a[k]为起点的最长上升子序列（也就是以a[k]为终点的最长下降子序列），两者之和最大的时候，就是最多的景点数

代码实现

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1000;
int a[N],r[N],d[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)//最长上升子序列
    {
        r[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i]) r[i]=max(r[i],r[j]+1);
        }
    }
    for(int i=n;i;i--)//反向最长上升子序列
    {
        d[i]=1;
        for(int j=n;j>i;j--)
        {
            if(a[j]<a[i]) d[i]=max(d[i],d[j]+1);
        }
    }
    int res=-1e8;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,r[i]+d[i]-1);//因为计算的时候，最长上升子序列的转折点被算了两次
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

4.合唱队形

题目描述

N 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 (N−K) 位同学出列，使得剩下的 K 位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设 K 位同学从左到右依次编号为 1，2…，K，他们的身高分别为 T1，T2，…，TK，  则他们的身高满足 T1<…Ti+1>…>TK(1≤i≤K)。

你的任务是，已知所有 N 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式
输入的第一行是一个整数 N，表示同学的总数。

第二行有 N 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 Ti 是第 i 位同学的身高(厘米)。

输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

数据范围
2≤N≤100,
130≤Ti≤230
输入样例：

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出样例：

4

解题思路

合唱队形是什么样的？我们发现和登山这道题的形状一模一样！！但是这道题要求的是最少几位同学出队，其实就是求出最多可以留下多少同学能排成这个队形，而求这个队形的最长序列和上一题的代码一模一样。然后用n-res就可以啦

代码实现

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=110;
int a[N],r[N],d[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        r[i]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i]) r[i]=max(r[i],r[j]+1);
        }
    }
    for(int i=n;i;i--)
    {
        d[i]=1;
        for(int j=n;j>=i;j--)
        {
            if(a[j]<a[i]) d[i]=max(d[i],d[j]+1);
        }
    }
    int res=-1e8;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,r[i]+d[i]-1);
    cout<<n-res<<endl;
    return 0;
    
}

5.友好城市

题目描述

Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的N个城市。

北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。

每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。

编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。

输入格式
第1行，一个整数N，表示城市数。

第2行到第n+1行，每行两个整数，中间用1个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。

输出格式
仅一行，输出一个整数，表示政府所能批准的最多申请数。

数据范围
1≤N≤5000,
0≤xi≤10000
输入样例：

7
22 4
2 6
10 3
15 12
9 8
17 17
4 2

输出样例：

4

解题思路

建的桥不能相交，当确定一个方向上的城市之后，将这个方向上的城市按位置坐标从小到大排列，如果要他们与对岸的友好城市建桥互不相交，那么他们的友好城市的坐标也要满足单调递增才能保证不想交，想建尽可能多的桥，就是找到尽可能多的城市满足坐标单调递增，也就是求最长上升子序列

代码实现

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=5010;
typedef pair<int,int> PII;
PII q[N];
int f[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i].first>>q[i].second;
    sort(q,q+n);
    int res=-1e8;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(q[i].second>q[j].second) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
        res=max(res,f[i]);
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

6.最大上升子序列和

题目描述

一个数的序列 bi，当 b1

对于给定的一个序列(a1,a2,…,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,…,aiK)，这里1≤i1

比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8)，有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等。

这些子序列中和最大为18，为子序列(1,3,5,9)的和。

你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。

注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100,1,2,3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1,2,3)。

输入格式
输入的第一行是序列的长度N。

第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000(可能重复)。

输出格式
输出一个整数，表示最大上升子序列和。

数据范围
1≤N≤1000
输入样例：

7
1 7 3 5 9 4 8

输出样例：

18

解题思路

跟最长上升子序列分析方法是一样的，只不过这里属性不是求长度的最大值，是和的最大值，求最长上升子序列的时候加1即可，这里求和的最大值加上a[i]即可

代码实现

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N],f[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    int res=-1e8,sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        f[i]=a[i];
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+a[i]);
        }
        res=max(res,f[i]);
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

7.拦截导弹

题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。

但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。

某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。

由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式
共一行，输入导弹依次飞来的高度。

输出格式
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。

第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

数据范围
雷达给出的高度数据是不大于 30000 的正整数，导弹数不超过 1000。

输入样例：

389 207 155 300 299 170 158 65

输出样例：

6
2

解题思路

第一问很容易就是求最长下降子序列，第二问求最少要配备的系统数就是求有多少个单调递减子序列，贪心：如果当前的数比所有序列的最后一个数都大，说明它不能放在任何一个序列里（因为序列要单调递减），否则，就找到一个结尾大于等于它的最小子序列插入，因为每次只比较最后一个数，所以只保留每个序列的最后一个数即可。

代码实现

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int n;
int q[N],f[N],g[N];//g[i]表示子序列长度为i的最后一个数(每个序列里最小的数)是g[i]
int main()
{
    while(cin>>q[n]) n++;
    int res=-1e8;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(q[j]>=q[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
        res=max(res,f[i]);
    }
    cout<<res<<endl;
    int cnt=0;//当前子序列的个数
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int k=0;//遍历所有序列
        while(k<cnt&&g[k]<q[i]) k++;//当前的数比最后一个数大，就新建一个序列，这样能保证找到的第一个就是所有子序列中大于q[i]的最小的，因为g数组单调递增
        g[k]=q[i];//更新序列的最后一个数
        if(k>=cnt) cnt++;
    }
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}

8.导弹防御系统

题目描述

为了对抗附近恶意国家的威胁，R 国更新了他们的导弹防御系统。

一套防御系统的导弹拦截高度要么一直 严格单调 上升要么一直 严格单调 下降。

例如，一套系统先后拦截了高度为 3 和高度为 4 的两发导弹，那么接下来该系统就只能拦截高度大于 4 的导弹。

给定即将袭来的一系列导弹的高度，请你求出至少需要多少套防御系统，就可以将它们全部击落。

输入格式
输入包含多组测试用例。

对于每个测试用例，第一行包含整数 n，表示来袭导弹数量。

第二行包含 n 个不同的整数，表示每个导弹的高度。

当输入测试用例 n=0 时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式
对于每个测试用例，输出一个占据一行的整数，表示所需的防御系统数量。

数据范围
1≤n≤50
输入样例：

5
3 5 2 4 1
0

输出样例：

2

样例解释
对于给出样例，最少需要两套防御系统。

一套击落高度为 3,4 的导弹，另一套击落高度为 5,2,1 的导弹。

解题思路

这道题跟上一道题的思路是一样的，只不过，上一道题只是单调递减子序列，这道题，既有单调递减也有单调递增，而且个数不定，所以只能暴力枚举，求最少的防御系统，这里用dfs+全局最小值ans来求

代码实现

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=60;
int a[N],up[N],down[N];
int ans,n;
void dfs(int u,int su,int du)//三个参数分别表示，当前枚举到第几个数，当前上升子序列的个数，当前下降子序列的个数
{
    if(su+du>=ans)//如果上升子序列加上下降子序列大于大于n个，直接返回，不用继续枚举了
    {
        return;
    }
    if(u==n)//如果已经枚举完所以的数，上升子序列加上下降子序列的个数就是答案
    {
        ans=su+du;
        return;
    }
    int k=0;//将当前数放到上升子序列中
    while(k<su&&up[k]>=a[u]) k++;
    int t=up[k];
    up[k]=a[u];
    if(k<su) dfs(u+1,su,du);//如果不需要新系统，直接枚举下一个数
    else dfs(u+1,su+1,du);//如果需要新系统，枚举下一个数，并且将上升子序列数加一
    up[k]=t;
    
    k=0;//将当前数放到下降子序列中
    while(k<du&&down[k]<=a[u]) k++;
    t=down[k];
    down[k]=a[u];
    if(k<du) dfs(u+1,su,du);
    else dfs(u+1,su,du+1);
    down[k]=t;
    
}
int main()
{
    while(cin>>n,n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
        ans=n;//最多就是每个数都要一个系统，就是n个系统
        dfs(0,0,0);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

9.最长公共子序列

题目描述

给定两个长度分别为 N 和 M 的字符串 A 和 B，求既是 A 的子序列又是 B 的子序列的字符串长度最长是多少。

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 M。

第二行包含一个长度为 N 的字符串，表示字符串 A。

第三行包含一个长度为 M 的字符串，表示字符串 B。

字符串均由小写字母构成。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1≤N,M≤1000
输入样例：

4 5
acbd
abedc

输出样例：

3

解题思路

代码实现

#include
using namespace std;
const int N=1010;
char a[N],b[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    cin>>a+1>>b+1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

10.最长公共上升子序列

题目描述

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。

输入格式
第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。

第二行包含 N 个整数，表示数列 A。

第三行包含 N 个整数，表示数列 B。

输出格式
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围
1≤N≤3000,序列中的数字均不超过 231−1。

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

2

解题思路

这道题是最长上升子序列和最长公共子序列的结合版，以是否包含a[i]为划分依据，将集合划分为两部分，再将包含a[i]部分的集合再划分，依据是子序列的倒数第二个元素在b[]中是哪个数，如果包含a[i]，则一定满足a[i]==b[j]

代码实现

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=3010;
int a[N],b[N],f[N][N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int maxv=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];//不包含a[i]
            if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
            if(b[j]<a[i]) maxv=max(maxv,f[i-1][j]+1);
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);
    cout<<res<<endl;
}

学习网站：ACWing