王道408数据结构——第五章 树与二叉树

文章目录

  • 一、树的基本概念
    • 树的性质
  • 二、二叉树
    • 满二叉树
    • 完全二叉树
    • 二叉排序树
    • 平衡二叉树
    • 二叉树的性质
    • 完全二叉树的性质
  • 三、二叉树的储存结构
    • 顺序储存
    • 链式存储
  • 四、树的储存方式
    • 双亲表示法
    • 孩子表示法
    • 孩子兄弟表示法(二叉树表示法)
  • 五、二叉树的遍历
    • 先序遍历(preOrder、NLR)
    • 中序遍历(inOrder、LNR)
    • 后序遍历(postOrder、LRN)
    • 中序遍历的非递归算法
    • 先序遍历的非递归算法
    • 后序遍历的非递归算法
    • 层次遍历
    • 由遍历序列构造二叉树
  • 六、线索二叉树
    • 二叉线索化
    • 遍历线索二叉树
  • 七、森林
    • 树转换为二叉树
    • 森林转换为二叉树
    • 二叉树转换为森林
    • 树的遍历
    • 森林的遍历
  • 八、二叉排序树(BST)
    • BST的插入
    • BST的删除
    • BST的查找
    • BST与二分查找
  • 九、平衡二叉树
    • 平衡二叉树的插入
  • 十、哈夫曼树
    • 构造哈夫曼树
    • 哈夫曼编码

一、树的基本概念

树的定义是递归的,树本身也是一种递归的数据结构。其作为一种逻辑结构,同时也是一种分层结构。树适合表示具有层次结构的数据。
度:一个结点的的孩子个数
树的度:树中结点的最大度数
数中的分支是有向的,即从双亲指向孩子,所以数中的路径只能是从上往下的。同一个双亲的孩子间不存在路径。

树的性质

  • 树中结点等于所有结点的度数之和加1,即 总边数+1=度数之和
  • 度为 m 的树中,第 i 层上至多有 m i − 1 m^{i-1} mi1个结点
  • 高度为 h 的 m 叉树至多有 m h − 1 m − 1 \frac{m^h-1}{m-1} m1mh1个结点
  • 具有 n 个结点的 m 叉树最小高度为 ⌈ log ⁡ m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil \log_m(n(m-1)+1)\rceil logm(n(m1)+1)

二、二叉树

二叉树是一种特殊的树形结构,特点是每个结点至多只有两棵子树,但其度可以小于2;并且二叉树的子树有左右之分,即使树中结点只有一棵子树,也要区分其是左子树还是右子树。

满二叉树

高度为h,且含有 2 h − 1 2^{h-1} 2h1个结点的二叉树称为满二叉树,即树中每层都有最多的结点。
根结点从1开始编号,若结点编号为 i,其双亲为 ⌊ i / 2 ⌋ \lfloor i/2\rfloor i/2 其左孩子为2i,右孩子为2i+1。

完全二叉树

性质:

  • 若结点编号 i ≤ ⌊ n / 2 ⌋ i \leq \lfloor n/2 \rfloor in/2,则结点为分支结点,否则为叶子系结点。
  • 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。最有有一个度为1的结点,且该结点只有左孩子。
  • 若n为奇数,则每个分支结点都有左右孩子

二叉排序树

左子树上所有结点的关键字都小于根结点,右子树上的所有结点关键字都大于根结点。

平衡二叉树

树上任一结点的左右子树深度之差不超过1

二叉树的性质

  • 非空二叉树的叶子结点数等于度为2的结点数+1,即 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1
  • 非空二叉树上第 k 层至多有 2 k − 1 2^{k-1} 2k1个结点
  • 高度为 h 的二叉树至多有 2 h − 1 2^h-1 2h1个结点
  • 结点数为n的二叉树有 ( 2 n ) ! n ! ( n + 1 ) ! \frac{(2n)!}{n!(n+1)!} n!(n+1)!(2n)!种形态(卡特兰数)

完全二叉树的性质

  • 结点 i 的双亲编号为 ⌊ i 2 ⌋ \lfloor \frac{i}{2} \rfloor 2i,即当 i 为偶数时(左孩子),其双亲的编号为 i/2,当i为奇数时,其双亲编号为(i-1)/2。
  • 推论:具有n个结点的完全二叉树,编号最大的分支节点为 ⌊ n 2 ⌋ \lfloor \frac{n}{2}\rfloor 2n
  • 结点 i 所在层次为 ⌈ log ⁡ 2 [ i ( 2 − 1 ) + 1 ] ⌉ = ⌊ log ⁡ 2 i ⌋ + 1 \lceil \log_2[i(2-1)+1]\rceil=\lfloor \log_2i\rfloor+1 log2[i(21)+1]=log2i+1

三、二叉树的储存结构

顺序储存

用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右储存完全二叉树的结点元素。
对于一般的二叉树,必须添加一些空结点。

链式存储

在含有n个结点的二叉链表中,含有n+1个空链域

四、树的储存方式

双亲表示法

采用一组连续空间来储存每个结点,同时在每个结点中增设一个伪指针,指示其双亲结点在数组中的位置。根结点的下标为0,其伪指针域为-1。
该存储结构可以很快得到每个结点的双亲位置,但求结点孩子时需要遍历整个结构。

孩子表示法

为每个结点创建一个链表,将该结点的孩子都用单链表接起来。再将所有结点顺序存储在一个数组中,数组中每个元素不但储存结点,还设置一个指针域,指向该结点的孩子链表。n个结点就有n个孩子链表(叶子结点的孩子链表为空表)。
这种方式寻找子女的操作非常直接,而寻找双亲的操作需要遍历所有孩子链表。

孩子兄弟表示法(二叉树表示法)

以二叉链表作为树的存储结构。
二叉树的左指针指向其第一个孩子,右指针指向其下一个兄弟。沿着右指针可以找到所有兄弟结点。
最大优点是可以方便实现树到二叉树的转换,易于找到结点的孩子。缺点是查找双亲结点比较麻烦,可以添加一个parent域指向父结点来解决。

五、二叉树的遍历

先序遍历(preOrder、NLR)

void preOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
		visit(T);
		preOrder(T->lchild);
		preOrder(T->rchild);
	}
}	

中序遍历(inOrder、LNR)

void inOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
		inOrder(T->lchild);
		visit(T);
		inOrder(T->rchild);
	}
}

后序遍历(postOrder、LRN)

无论哪种遍历,访问左右子树的顺序都是固定的,只是访问根结点的顺序不同。
每个结点都只访问一次,时间复杂度均为O(n)。
递归工作栈的栈深恰为树的高度。在最坏情况下,n个结点的树高为n,空间复杂度为O(n)。

中序遍历的非递归算法

关键是用栈记录当前结点的祖先

void inOrder(BiTree T){
	initStack(S);
	BiTree p = T;  // 遍历指针
	while( !isEmpty(S) || p ){
		if(p){
			push(S, p);
			p = p-> lchild;  // 一路向左
		}else{  // 无法向左下继续前进,访问子树根结点,进入根结点右子树
			pop(S, p);
			visit(p);
			p = p->rchild;
		}
	}
}

先序遍历的非递归算法

先序遍历和中序遍历的基本思想类似,只需把访问结点操作放在入栈操作前

void inOrder(BiTree T){
	initStack(S);
	BiTree p = T;
	while( !isEmpty(S) || p ){
		if(p){
			visit(p);
			push(S, p);
			p = p-> lchild;
		}else{
			pop(S, p);
			p = p->rchild;
		}
	}
}

后序遍历的非递归算法

  1. 沿着根的左孩子,依次入栈,直到左孩子为空。
  2. 读栈顶元素:若其右孩子不空且未被访问过,进入右孩子并执行1⃣️;否则元素出栈并访问。需要设定一个辅助指针指向最近访问过的结点,用于区分访问该结点时,其上一个结点是它的左子树还是右子树。
void postOrder(BTree T){
    initStack(S);
    BTree p = T;
    BTree r = NULL;    // 记录访问的上一个结点
    while(p || isEmpty(S)){
        if(p){    //一直走到树的最左边
            push(S, p);
            p = p->lchild;
        }else{
            getTop(S, p);
            if(p->rchild && p->rchild != r){    // 若未访问过右子树,进入
                p = p-> rchild;
            }else{    // 右子树已访问过,访问根结点
                pop(S, p);
                visit(p);
                r = p;    // 记录最近访问的结点
                p = NULL;    // 遍历完该子树,置空
            }
        }     
    } 
}

从栈底结点再加上p结点,刚好构成从根结点到p结点的一条路径。

层次遍历

void leverOrder(BiTree T){
	initQueue(Q);
	BiTree p;
	enQueue(Q, T);
	while( !isEmpty(Q) ){
		deQueue(Q, p);
		visit(p);
		if(p->lchild != NULL)
			enQueue(Q, p->lchild);
		if(p->rchild != NULL)
			enQueue(Q, p->rchild);
	}
}

由遍历序列构造二叉树

由二叉树的先序序列和中序序列可以唯一确定一个二叉树
在先序遍历序列中,第一个结点一定是二叉树的根结点;而在中序遍历中,根结点必然将中序序列分割成两个子序列。

由二叉树的后序序列和中序序列可以唯一确定一个二叉树
后序序列的最后一个结点一定是二叉树的根结点。

由二叉树的层次遍历和中序遍历可以唯一确定一个二叉树

六、线索二叉树

增加两个标志域表示指针域是指向左(右)孩子还是指向前驱(后继)。
以这种结点结构构成的二叉链表作为二叉树的存储结构,其中指示结点前驱及后继信息的指针称作线索。加上线索的二叉树称为线索二叉树。
引入线索二叉树能够加快查找结点前驱和后继的速度,像遍历单链表那样方便地遍历二叉树。
线索化的实质就是遍历一次二叉树。

二叉线索化

使用指针pre指向刚刚访问过的结点,p指向正在访问的结点,即pre指向p的前驱。
在遍历的过程中,检查p的左指针是否为空,若为空就将其指向pre;同样的检查pre的右指针。
中序遍历线索化代码如下

void creatInThread(ThreadTree T){
	ThreadTree pre = NULL;
	if(T != NULL){
		inThread(T, pre);
		pre->rchild = NULL;  // 处理遍历的最后一个结点
		pre->rtag = 1;
	}
}

void inThread(ThreadTree &p, ThreadTree &pre){
	if( p!= NULL ){  
		inThread(p->lchild, pre);
		// visit
		if( p->lhild == NULL ){
			p->lhild = pre;
			p->ltag = 1;
		}
		if( pre != NULL && pre->rchild == NULL ){
			pre->rchild = p;
			pre->rtag = 1;
		}
		pre = p;
		inThread(p->rchild, pre);
	}
}

为了方便,可以在二叉树的线索链表上添加一个头结点,令其lchild域指向二叉树的根结点,其rchild域指向中序遍历的最后一个结点,再把中序遍历的第一个结点的lchild域指向头结点。这样就为二叉树建立了一个双向线索链表。

建立先序线索二叉树和后序线索二叉树的代码类似,只需变动线索化改造的代码段以及调用左右子树递归函数的位置。

先序线索化与后序线索化最多有1个空指针域;中序线索化最多有2个空指针域。

遍历线索二叉树

中序线索二叉树的结点隐含了线索二叉树的前驱后继信息,在对其进行遍历时,只要先找到序列中的第一个结点,然后依次找结点的后继即可。
不含头结点的中序线索二叉树遍历算法如下

void inOrder(ThreadTree T){
	ThreadTree p = firstNode(T);  // 获取遍历的起始结点
	while( p != NULL ){
		visit(p);
		p = nextNode(p);  // 获得下一个遍历结点
	}
}

ThreadTree firstNode(ThreadTree p){
	while( p->ltag == 0 ){
		p = p->lchild;
	}
	return p;
}

ThreadTree nextNode(ThreadTree p){
	if( p->rtag == 0)
		return firstNode(p->rchild);  // 返回右子树的最左结点,即下一个要遍历的结点
	else
		return p->rchild;
}

对于先序线索二叉树,如果有左孩子,则左孩子就是其直接后继;如果无左孩子但是有右孩子,则右孩子就是其直接后继;如果是叶结点,其右链域指向了结点的后继。

对于后继线索二叉树,其寻找后继需要知道结点双亲,需采用带标志域的三叉链表作为存储结构。

七、森林

森林是m棵互不相交的树的集合。只需把树的根结点删除就成了森林;反之,只要给m棵独立的树加上一个结点,并把这m棵树作为该结点的子树,则森林就成了树。

树转换为二叉树

二叉树和树都可以用二叉链表作为存储结构,给定一棵树,可以找到唯一一棵二叉树与之对应。

对于一棵树,每个结点左指针指向它的第一个孩子,右指针指向它在树中的相邻右兄弟。
这种规则下,根结点只有左孩子。

森林转换为二叉树

先将森林中的每一棵树转换为二叉树,由于任何一棵树对应的二叉树右子树必空,只需把所有二叉树的根结点用其右指针连接起来即可,即将所有树的根结点视为兄弟结点。

二叉树转换为森林

若二叉树非空,则二叉树根的右子树棵视为其余树形成的二叉树,将其与根断开,以此类推,把所有子树释放。再将每棵二叉树依次转换成树,就得到了原森林。
二叉树转换成树或森林也是唯一的。

树的遍历

  • 先根遍历
    若树非空,先访问根结点,再依次遍历根结点的每棵子树。
    先根遍历的遍历序列与对应二叉树的先序序列相同
  • 后根遍历(中根遍历)
    若树非空,先依次遍历根结点的每棵子树,再访问根结点。
    后根遍历的遍历序列与对应二叉树的中序序列相同
  • 层次遍历

森林的遍历

  • 先序遍历森林
    若森林非空,按如下规则进行遍历:
    • 访问森林中第一棵树的根结点
    • 先序遍历第一棵树中根结点的子树森林
    • 先序遍历其余树的森林
  • 中序遍历森林
    若森林非空,按如下规则进行遍历 (实际上就是依次后根遍历森林中的每一棵树)
    • 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林
    • 访问第一棵树的根结点
    • 中序遍历其余树的森林

森林的先序遍历和中序遍历即为对应二叉树的先序和中序遍历。

八、二叉排序树(BST)

对于二叉排序树(二叉查找树),若左子树非空,则左子树的所有结点值均小于根结点的值,且也为一棵二叉排序树;若右子树非空,则右子树的所有结点值均大于根结点的值,且也为一棵二叉排序树。
二叉排序树可以是空树。

对二叉排序树进行中序遍历,可以得到一个有序序列。

BST的插入

按照如下规则递归进行:

  1. 若树空,则直接插入结点
  2. 若关键字k小于根结点,则插入到左子树
  3. 若关键字k大于根结点,则插入到右子树

插入的结点一定是一个新添加的叶结点,且是查找失败时路径上访问的最后一个结点的孩子。
若插入序列是有序的,则会形成一个倾斜的单支树,导致二叉树的性能显著变坏。

BST的删除

分为三种情况进行:

  1. 若被删除结点z是叶结点,直接删除
  2. 若结点z只有左子树或只有右子树,让z的子树成为z父结点的子树替代z的位置
  3. 若结点z有左、右两棵子树,则令z的直接后继(或直接前驱)代替z,再按第一或第二种情况考虑。

BST的查找

从根结点开始,将给定值与根结点关键字比较:

  1. 若相等,查找成功
  2. 若小于根结点关键字,进入左子树进行查找
  3. 若大于根结点关键字,进入右子树进行查找

二叉排序树的查找效率,主要取决于树的高度。若二叉树左右子树高度之差不超过1(平衡二叉树),则平均查找长度为 O ( log ⁡ 2 n ) O(\log_2n) O(log2n),若二叉排序树每个结点都只有一个结点,平均查找长度为 O ( n ) O(n) O(n)

BST与二分查找

从查找过程看,二叉排序树与二分查找十分相似,其平均时间性能差不多;但二分查找的判定树唯一,二叉排序树则不唯一。

从结构的维护角度看,二叉排序树无序移动结点,只需修改指针即可完成插入删除操作,平均执行时间是 O ( log ⁡ 2 n ) O(\log_2n) O(log2n);二分查找的对象是有序顺序表,若插入删除结点,所花时间是 O ( n ) O(n) O(n)

若有序表是静态查找表,宜采用顺序表作为存储结构,采用二分查找进行查找操作。
若有序表是动态查找表,宜采用二叉排序树作为其逻辑结构

九、平衡二叉树

为避免树的高度增长过快,降低二叉排序树的性能,规定插入和删除二叉树的结点时,保证任意结点的左右子树高度差不超过1。

n h n_h nh表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数,有递推公式 n h = n h − 1 + n h − 2 + 1 n_h=n_{h-1}+n_{h-2}+1 nh=nh1+nh2+1,且 n 0 = 0 n_0=0 n0=0 n 1 = 1 n_1=1 n1=1
含有n个结点的平衡二叉树最大深度为 O ( log ⁡ 2 n ) O(\log_2n) O(log2n),平均查找长度也为 O ( log ⁡ 2 n ) O(\log_2n) O(log2n)

平衡因子:结点左右子树的高度差,取值范围为-1、0、1。

平衡二叉树的插入

保持二叉树平衡的基本思路:每当插入或删除一个结点,检查该结点到根结点路径上的每个结点的平衡因子,调整不平衡的最小子树的结构,在保持二叉排序树特性的前提下,使之重新平衡。

对于一个新结点,先按照普通二叉排序树的规则进行插入操作,再找到其最小不平衡树,分情况进行调整:

  1. LL平衡旋转(右单旋转):在结点A的左孩子(L)的左子树(L)上插入了新结点,使A的平衡因子增加为2,导致A为根的子树失去平衡。
    进行一次向右的旋转操作:将A的左孩子B向右上旋转,代替A成为根结点;将A结点向右下旋转,成为B的右子树的根结点;而B的原右子树则作为A的左子树。
  2. RR平衡旋转(左单旋转):在结点A的右孩子(R)的右子树(R)上插入了新结点,使A的平衡因子减少为-2,导致A为根的子树失去平衡。
    进行一次向左的旋转操作:将A 的右孩子B向左上旋转,代替A成为根结点;将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点;而B的原左子树则成为A的右子树。
  3. LR平衡旋转(向左后右双旋转):在A的左孩子(L)的右子树(R)上插入了新结点。
    进行两次旋转操作,先左旋转再右旋转:先将A结点的左孩子B的右子树根结点C向左上旋转提升到B结点的位置,此时问题转化为情形1,只需将C结点再向右上旋转提升到A结点的位置。
  4. RL平衡旋转(向右后左双旋转):在A的右孩子(R)的左子树(L)上插入了新结点。
    进行两次旋转操作,先右旋转再左旋转:先将A结点的右孩子B的左子树根节点C向右上旋转提升到B结点的位置,此时问题转化为情景2,只需将C结点再向左上旋转提升到A结点的位置。

十、哈夫曼树

为树中结点赋予一个数值,成为该结点的。从根结点到任意结点的路径长度 l l l(经过的边数)与该节点上权值 w w w的乘积称为该结点的带权路径长度。树中所有叶结点的带权路径长度之和称为树的带权路径长度。即 W P L = ∑ i = 1 n w i l i WPL=\sum_{i=1}^nw_il_i WPL=i=1nwili

在含有n个带权叶结点的二叉树中,WPL最小的二叉树称为哈夫曼树,也称最优二叉树。

构造哈夫曼树

给定n个权值分别为 w 1 , w 2 . . . w n w_1,w_2...w_n w1,w2...wn的结点,构造算法如下:

  1. 将n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树,构成森林F;
  2. 构造一个新结点,从F中选取两棵根节点权值最小的树作为新节点的左右子树,新结点的权值置为左右子树根节点权值之和;
  3. 从F中删除刚才选出的两棵树,同时将新得到的树加入F中;
  4. 重复步骤2、3,直到F仅剩一棵树。

从构造过程可以看出哈夫曼树具有如下特点:

  • 每个初始结点都称为叶结点,且权值越小的结点到根节点的路径越长。
  • 构造过程新建了n-1个结点,因此哈夫曼树的总结点树为2n-1。
  • 哈夫曼树中不存在度为1的结点。

哈夫曼编码

若允许不同字符用不等长的二进制位表示,称这种编码为可变长度编码
若任何一个编码都不是其余编码的前缀,则称这种编码为前缀编码
利用哈夫曼树可以设计出总长度最短的二进制前缀编码。

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