SVM 支持向量机算法（Support Vector Machine ）【Python机器学习系列（十四）】

SVM 支持向量机算法（Support Vector Machine ）【Python机器学习系列（十四）】

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大家好，我是侯小啾！

 今天分享的内容是支持向量机算法的逻辑，及其python实现。

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1.SVM简介

在深度学习出现之前，支持向量机 被称为表现最好的算法。支持向量机算法适用于一些复杂数据的分类。现在更多用的是深度学习，深度学习的效果大于SVM。但是SVM作为经典算法，还是十分重要，是学习机器学习过程的必修内容。
 
SVM具有两个特点：1.适合小样本。2.数学逻辑优美。
 
支持向量机算法分为线性可分的支持向量机 和 非线性可分的支持向量机。
 
线性可分样本集：只要我们可以用一条直线可以把样本集的两类完全分开，就可以将其称为线性可分样本集。反之，称为非线性可分样本集。
 
支持向量机的超平面具有唯一性。可以分割样本数据的线（或超平面）存在有无数条，但是只有一条是最好的。找到这条线（或超平面），是支持向量机算法要做的。
 
SVM算法的目标即为：找到使分类间隔最小距离d 最大的超平面。

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2. SVM 逻辑推导

2.1 Part1 化简限制条件

给定样本数据集，假设样本特征为X，样本标签为y。
每个样本的特征值可以展示为：$x_1$,$x_2$,$x_3$,…$x_n$。y 的取值只能有+1和-1.

欲将这些样本分为二类，则需要找到中间的超平面。该超平面表示为：
 
         ${\omega }^{T}x+b=0$

其中 $\omega$ 称为法向量，其决定了超平面的方向。

点到超平面的距离可以表示为
         $r_i=\frac{|{\omega }^T{x}_i+b|}{||\omega ||}$

这里的$x_i$指的不再是超平面上的点，而是样本点的向量。
 
以二维的情况中点与线的关系为例进行说明，假设有一个点 点A(m,n) 和一条线ax+by+c=0，则当点在线上时，直线的等号会刚好成立。当点分布于直线的两侧时，分别可写作am+bn+c>0，am+bn+c<0。多维情况下，也是同理。
 
再结合点到超平面的距离公式，$r_i$也可以写为：
 
         $r_i=\frac{{\omega }^T{x}_i+b}{||\omega ||}{y}_i$

其中，位于超平面 ${\omega }^T{x}_i+b=0$ 左右的标签对应的y_i的正负不要设定反了，只有设定正确该公式才可以保证得到正值。不然的话保证得到的就会是负值。
 
然后就是要寻找 支持向量。支持向量是距离超平面最近的点的向量，分布在超平面的两边，所以这样的点至少有两个，即支持向量至少有两个。（至少左右各一个）。
 
我们下一步要做的，即：求$r_i$关于$x_i$的极小值，再求该极小值关于$\omega$和$b$的极大值。
 
对该距离公式的分子， ${\omega }^T{x}_i+b$，即超平面的方程 ${\omega }^{T}x+b=0$ 的一部分，考虑到超平立面的方程，就像二维的直线方程一样是可以放缩的（登号两边同乘以一个数），因此可以通过放缩，使得 ${\omega }^T{x}_i+b=1$成立。以此作为限制条件，这样就可以把分母消去了。

该约束条件可表示为
         $r_i=\frac{{\omega }^T{x}_i+b}{||\omega ||}{y}_i\ge \frac{1}{||\omega ||}$

提示：这里的限制条件只用了一个表达式表示，实际上有m个（m也是样本点的个数）。每个样本点对应一个限制条件。
当且仅目标当样本$x_i$为支持向量时，等号成立，取得点到超平面的最小距离$\frac{1}{||\omega ||}$。
 
目标函数，即点到超平面的最小距离$\frac{1}{||\omega ||}$。要使该最小距离最大化，即$||\omega ||$最小，为了后边计算方便，进一步将研究问题及表达式转化为，求$\frac{1}{2}||\omega |{|}^2$关于$\omega$和$b$的最小值。
目标函数即：
 
          $mi{n}_{\omega ,b}\frac{1}{2}||\omega |{|}^2$

进一步，限制条件可再转化为：
         $({\omega }^T{x}_i+b)y_i-1\ge 0$

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2.2 Part2 SVM拉格朗日乘子法求解

现在我们已经得到了目标函数表达式与限制条件的表达式，可以使用拉格朗日乘子法对其进行求解。
构建拉格朗日函数表达式如下：

    $L(\omega ,b,\lambda )=\frac{1}{2}||\omega |{|}^2+{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i[1-({\omega }^T{x}_i+b)y_i]$
 
        $=\frac{1}{2}{\omega }^T\omega +{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i[1-({\omega }^T{x}_i+b)y_i]$

目标问题是一个凸二次规划问题：目标函数是二次型函数，且约束函数是仿射函数。所以该问题有全局最小值。

其中，$\lambda$是拉格朗日乘子，这里的m是样本的个数，每个样本对应一个拉格朗日算子，共计m个拉格朗日算子，对应m个限制条件。

$对F(\omega ,b,\lambda )$求关于$\omega$ 和 $b$的偏导，并令其为0，再求解：
 
    $\frac{\partial L(\omega ,b,\lambda )}{\partial \omega }=\omega -{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i{x}_i=0$

    $\frac{\partial L(\omega ,b,\lambda )}{\partial b}=-{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i=0$

解得

         $\omega ={\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i{x}_i$

         $0={\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i$
 
将求解结果带回原$L(\omega ,b,\lambda )$，并进一步化简得：
 
    $L(\omega ,b,\lambda )=\frac{1}{2}{\omega }^T\omega +{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i-{\omega }^T{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i{x}_i-b{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i$
 
         $={\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i-\frac{1}{2}{\omega }^T\omega$
 
         $={\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i-\frac{1}{2}({\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i{x}_i{)}^T({\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i{x}_i)$
 
         $={\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\lambda }_i{\lambda }_j{y}_i{y}_j{x}_i^T{x}_j$
 
上边已经说到，将这两个表达式带入$L(\omega ,b,\lambda )$后，我们得到的新的表达式中已经没有了$\omega$和$b$，只剩下的参数为$\lambda$，这个新表达式的限制条件即为我们带入的两个式子，这两个式子表示该表达式关于$\omega$和$b$的极小值。
 
进而求关于$\lambda$的极值，到此要求解的函数已经转化为：
 
         ${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\lambda }_i{\lambda }_j{y}_i{y}_j{x}_i^T{x}_j$
 
要求解的是该式关于$\lambda$的极大值，所以也即求解
 
         $\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\lambda }_i{\lambda }_j{y}_i{y}_j{x}_i^T{x}_j-{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i$
 
的极小值。
 
限制条件为：
       $s.t.$  ${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i=0$
           ${\lambda }_i\ge 0$, i=1,2,…,m

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2.3 Part3 求解超平面

目标函数：
         $mi{n}_{\omega ,b}$ $\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\lambda }_i{\lambda }_j{y}_i{y}_j{x}_i^T{x}_j-{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i$

限制条件：
       $s.t.$  ${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i=0$
           ${\lambda }_i\ge 0$, i=1,2,…,m

然后接下来，不难发现这是一个二次规划问题，将每个样本点的$x_i$、$y_i$替换为样本值数字，然后求目标函数关于${\lambda }_1$，${\lambda }_2$，… ，${\lambda }_n$的偏导数，并令其等于0，从而得到m个等式，联立这 m 个等式，以及${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i=0$进行求解。理论上即可以求出${\lambda }_1$，${\lambda }_2$，… ，${\lambda }_n$的值。
 
再将这些值代入表达式 ${\omega }^{\ast }={\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i{x}_i$ 即可求解出 ${\omega }^{\ast }$。（${\omega }_1$, ${\omega }_2$, … , ${\omega }_n$）
 
再由公式
          $b^{\ast }=y-{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{y}_i{x}_i^T{x}_i$
 
代入支持向量，即可求得参数b的值。这是一种解方程的思路。但是这种方法过于繁琐，只是理论上可行。
在解决这个问题方面，先辈们提出了很多高效的算法，比如SMO算法（Sequential Minimal Optimization）。
使用梯度下降法，也可以如愿求得超平面的方程。

最后，根据下式（符号函数sgn）即可对样本数据进行分类：
 
          $f(x)=sgn({\omega }^{\ast T}x+b^{\ast })$

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3.核函数

到此我们已经完整地实现了线性可分的支持向量机。但是现实中目标数据未必一直是线性可分的。面对这样的情况，我们可以使用 核函数 对原始目标数据进行“升维”操作。
如果原始数据是有限维的，那么一定会存在一个更高维的特征空间使得样本线性可分。
用$\varphi (x)$表示$x$经过映射后的特征向量，则核函数可以表示为
 
         $k(x_i,x_j)=<\varphi (x_i),\varphi (x_j)>=\varphi (x_i{)}^T\varphi (x_j)$
 
核函数的具体形式我们通常是不知道的。
但是 核函数定理表明，只要一个对称函数（$k(x_i,x_i)$）对应的核矩阵半正定，它就能作为核函数使用。
 
几种常用的核函数如下：

核函数	描述	参数
线性核	$k(x_i,x_j)=x_i^T{x}_j$	无
多项式核	$k(x_i,x_j)=(x_i^T{x}_j{)}^d$	$d\ge 1$，表示多项式的次数
高斯核	$k(x_i,x_j)=exp(-\frac{||x_i-x_j|{|}^2}{2{\sigma }^2})$	$\sigma ＞0$，为高斯核的带宽(width)
拉普拉斯核	$k(x_i,x_j)=exp(-\frac{||x_i-x_j||}{\sigma })$	$\sigma ＞0$
Sigmoid核	$k(x_i,x_j)=tanh(\beta x_i^T+\theta )$	tanh是双曲正切函数，$\beta >0,\theta <0$

其中，高斯核函数，也称径向基函数（Radial Basis Function 简称RBF）。

此外，核函数也可以通过多个核函数与正数的线性组合得到，如 $a{k}_1+b{k}_2$；
也可以通过两个核函数的直积得到：$k_1(x,z)k_2(x,z)$；
也可以通过任意函数g(x)得到：$g(x)k1(x,z)g(z)$。

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4. 软间隔支持向量机

线性可分支持向量机中的约束条件要求所有的样本都必须划分正确，这个间隔称为“硬间隔”。这也导致线性可分的支持向量机可能带来过拟合的问题，为了缓解这个问题，可以通过使用 软间隔 来允许支持向量机在对少数样本分类时出错。
于是，经过优化的目标函数可以写为：
 
  $mi{n}_{\omega ,b}$ $\frac{1}{2}||\omega |{|}^2+C{\sum }_{i=1}^m{\phi }_{0/1}(y_i({\omega }^T{x}_i+b)-1)$

其中，C>0，C是一个常数。C越大，则分类的准确性就会越高，但是会因为过拟合导致，泛化能力会变差
C越小则分类的准确性会越低。
 
${\phi }_{0/1}$是损失函数:
 
$${\phi }_{0/1}(z)=\{\begin{array}{rlr}1& ,& ifz<0;\\ 0& ,& otherwise\end{array}$$

然而这个损失函数的性质不太好导致后续不易求解，所以可以使用“替代损失”函数，
三种常用的替代损失函数如下：

hinge损失：${\phi }_{hinge}(z)=max(0,1-z)$

指数损失${\phi }_{exponentialloss}=exp(-z)$

对率损失${\phi }_{logisticloss}=log(1+exp(-z))$

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5. 支持向量回归 SVR

线性可分的支持向量机SVM通过求解出的超平面对数据进行分类，因此该算法不仅仅可以分类，也可以稍作迁移，当作回归算法来使用。求解超平面的过程，也即求解回归方程的过程，该过程被称为支持向量回归（SVR）。
 
显然，支持向量回归不同于传统的回归过程，传统的回归过程会计算所有回归值与真实值之间的损失，但是SVR则会假设一个$ϵ$作为一个偏差值，只有当真实值与回归值的差别绝对值大于$ϵ$时，才会计算损失。（即形成了一条“隔离带”，在隔离带外的点才计算损失）

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6.python实现支持向量机

6.1 方法详解

sklearn.svm中提供了SVC, SVR，LinearSVC, LinearSVR, NuSVC, NuSVR, OneClassSVM, l1_min_c一系列类。
 
其中，SVC和SVR分别对应着通用的 支持向量机 和 支持向量回归，可以通过改变其参数来灵活应用。默认使用高斯核函数(即默认参数 kernel=“rbf”)。参数C即正则化常数，默认为1且大于0，正则化的程度与C成反比，C越大，则算法区域迫使所有样本满足约束，以至于可能导致过拟合；C取有限制时则会允许一些样本不满足约束。

其中，使用核函数时，参数kernel可用的值汇总如下：

参数值	描述
‘rbf’	高斯核函数，也称径向基函数，是默认值
‘linear’	线性核函数
‘poly’	多项式核函数
‘sigmoid’	Sigmoid核函数
‘precomputed’	自定义核

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LinearSVC, LinearSVR即为线性支持向量机，和线性支持向量回归，相当于是指定使用线性核的SVC和SVR。所以没有kernel参数，不能指定核函数。
 
NuSVC支持向量机，NuSVR支持向量回归，与SCV和SCR不同的是，NuSVC支持向量机和NuSVR支持向量回归没有参数C，但是有一个nu参数。
参数nu代表训练集训练的错误率的上限，或者说是支持向量的百分比下限，取值范围为(0,1]，默认为0.5.它和惩罚系数C类似，都可以控制惩罚的力度。nu可以理解为是C的再参数化，在数学上是等效的。
此外，其默认也是使用rbf核函数（高斯核函数）。

类OneClassSVM实现了一个用于离群点检测的类；l1_min_c是用于计算C的下界，以便获得非“空”（所有特征权重为零）模型的。这里在这方面不做过多深入。

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6.2 案例展示

使用支持向量机对葡萄酒数据进行分类为例，过程中使用线性核函数，且指定正则化常数C为2（默认为1）。算法的逻辑虽然有些复杂，但是代码非常简单。

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.datasets import load_wine
from sklearn.model_selection import train_test_split

wine = load_wine()
x_data = wine.data
y_data = wine.target

x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x_data, y_data, random_state=1)
model = SVC(C=2, kernel='linear')
model.fit(x_train, y_train)

test_score = model.score(x_test,y_test)
pred = model.predict(x_test)

print('模型得分：{:.3f}'.format(model.score(x_test, y_test)))
print(pred)

模型得分与预测结果如下图所示：
     

本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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