数学建模-第六章:最优化方法建模

  • 最优化方法/数学规划,是运筹学的一个分支
  • 怎样建立最优化问题的数学模型
    1. 决策变量和函数
    2. 约束或限制条件
    3. 目标函数

连续变量优化模型

线性规划

标准形式的线性规划模型
数学建模-第六章:最优化方法建模_第1张图片
线性规划问题转为标准形式

max w=7x+12y
s.t 9x+4y<=360
	 4x+5y<=200
	 3x+10y>=300
	 x>0,y>0

x_4=x,x_5=y,引入松弛变量 x1,x2>=0和剩余变量x3>=0,上述问题化为

max w=7x+12y
s.t x_1+               9x_4+4x_5=360
	        x2+         4x_4+5x_5=200
	              -x_3+3x_4+10x_5=300
	 x1,x2,x3....x5>=0
  • 对于不等式约束,通过引入松弛变量和剩余变量总可以化为等式约束
  • 对于bi<0 的情况,在该式两边同乘以-1
  • 对于自由变量(不要求取非负的值),如x1,有两种方法
    • 令x1=u1-v1,u1>=0,v1>=0
    • 从约束方程之一解出x1,带入其他的约束方程及目标函数

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  • 考虑标准形式的线性规划问题:基本可行解
  • min c^T x s.t. Ax=b,x>=0
  • A的秩为m,可从A的n列中选出m列,使他们线性无关。此处我们设A的前m列线性无关,令其组成的矩阵为B
  • 矩阵B是非奇异的,因此方程组 Bx_b=b,有唯一解,x_B=B-1b 其中x_B是一个m维列向量,令xT=(x_B,0)T 我们就得到一个解x
  • B称为基/基底 称这样得到的x 为关于基底B的基本解,而与B的列相应的x的分量称为基本变量,当基本解中有一个或一个以上的基本变量xi为零时,则称为退化的基本解
  • 当一个可行解x又是基本解,则称为基本可行解。
  • 线性规划维数:变量的个数n
  • 线性规划阶数:等式约束方程数目m
  • 基本可行解个数不超过 C n m C^m_n Cnm
  • 最优可行解:使得目标函数达到最大/小值

线性规划的基本定理

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非线性规划

离散变量优化模型

  • 选址问题
  • 布点问题
  • 指派问题
  • 最优化问题的一般数学模型
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  • 整体最优解与局部最优解
  • 优化的分类
    • 连续优化
      • 线性规划
      • 无约束非线性规划
      • 约束线性规划
    • 离散优化
      • 整数规划
        • 整数线性规划
        • 整数非线性规划
          • 纯整数规划
          • 混合整数规划
      • 0-1规划

组合优化与NP理论

  • 组合最优化问题(离散最优化问题):通过对数学方法的研究取寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等
    • 特点:大多数情况下可行域为有限点集。
    • 直观求解方法:枚举法
  • 背包问题
  • 旅行商问题TSP
  • 整体线性规划问题
  • 装箱问题(BP)
  • 约束机器排序问题
  • 衡量算法好坏看基本运算总次数(计算时间) C(I) 同实例I在计算机计算时的二进制输入数(输入规模/长度L(I))的大小来度量
  • C(I) =f(L(I)) 该函数关系称为算法的计算复杂性(度)
  • C(I) <=ag(L(I)) (其中a为常数) 问题规模的多项式函数为上界 ,该式成立,则称该算法为解决该问题的多项式(时间)算法
  • 不存在多项式g(x)时,称相应的算法是非多项式时间算法/指数(时间)算法
  • 多项式问题类P。(存在多项式算法的问题集合,计算时间存在上界)
    • 排序问题,线性方程组求解…
  • 非确定多项式问题类(NP)
    • 背包、TSP、整数线性规划、0-1、装箱、约束机器排序

NP理论

  • NP完全问题类(NPC)-一定是NP问题
  • NP难问题类(NPH)-不知道是不是NP

启发式算法

  • 基于直观或经验构造的算法,在可接受的花费下给出可行解

  • 背包问题的贪婪算法

  • TSP问题的贪婪算法

  • 简单的领域搜索算法

  • 启发算法有点:

    1. 简单易行,比较直观,容易被接受
    2. 速度快,在实施管理中非常重要
    3. 多数情况下程序简单
  • 缺点:

    1. 不能保证求得最优解
    2. 表现不稳定
    3. 算法的好坏依赖于实际问题、经验和设计者的技术
  • 现代优化算法:模拟退火、遗传算法、禁忌搜索、人工神经网络、蚁群优化算法

图论与最短路模型

  • 图的概念
  • 图的矩阵表示
    • 关联矩阵:横纵分别表示边与点
      • 无向图 1关联 0不关联
      • 有向图 1是起点,-1是终点,0 不关联
    • 邻接矩阵 横纵分别表示点与点
      • 无向图 1相邻 0不相邻
      • 有向图 1存在,0不存在
      • 有向赋权图: w存在,0:i=j,无限,不存在

最短路径及其算法

固定起点的最短路

  • 路径上权值之和最小
  • Dijkstra算法:求G中从固定顶点到其余顶点的最短路

每对顶点之间的最短路

  • Floyd算法

图的遍历问题

边的遍历

  • 欧拉图:存在欧拉回路
  • G为连通无向图
    • 欧拉回路:经过G的每边正好一次的巡回 必须回原点
    • 欧拉道路:经过G的每边正好一次的道路
  • 中国邮递员问题

点的遍历

  • 哈密尔顿图
  • G为连通无向图
    • 哈密尔顿路径:经过G的每个顶点正好一次的路径
    • 哈密尔吨圈/H圈:经过G的每个顶点正好一次的圈
    • 含H圈的图称为哈密尔顿图或H图
  • 旅行推销员问题
  • 加权图中
    • 权值最小的哈密尔顿圈称为最佳H圈
    • 经过每个顶点至少一次的权最小的闭通路称为最佳推销员回路
    • 两者不一定一致
    • 但如果任意三点距离满足三角边不等式,则两者一致
  • 推销员问题的近似算法,二边逐次修正法
  • 最佳灾情巡视路线

你可能感兴趣的:(算法,线性代数,机器学习)