状态定义与深度优先搜索、广度优先搜索

本文的重要性

• 第一次归纳总结状态、状态空间和把问题抽象为树或图的方法
• 搜索是解决一切问题的万金油算法，众多没有多项式时间解法的问题都需要靠搜索求解
• 学会定义搜索框架，将极大地帮助你学习动态规划和图论算法
• 搜索题是训练代码能力最有效的题目类别

状态与状态空间

状态

什么是状态?

• 题面中涉及的所有数学信息
• 你在纸上人力计算时，关注的所有数据
• 一个函数访问的所有变量

例如最简单的计票问题

• 给n个名字，统计每个名字出现了多少次

你在纸上画“正”字统计的时候，关注了哪些数据?

• 名字（n个字符串)
• 统计到哪个名字了(第1
• 画的“正”字（一个用于计数的数据结构，例如Hash Map)

写成程序:
for (int i = 0; i < n; i++)
count[names[i]]++;

访问的变量:

• n
• names
• i
• count

我们只关注其中动态变化的数据，也就是 i 和 count

状态，就是程序维护的所有动态数据构成的集合
names = [“candela” , “Alice” , “Bob”, “Candela"]

状态空间 → 图

所有可能状态构成的集合就是一个问题的状态空间
把状态作为点，如果从一个状态可以到达另一个状态，就连一条边
这样就把整个状态空间抽象为了一张有向图
对问题的求解，就是对这张图的遍历

计票问题的状态空间由n个状态组成
可以看作一张n个点，n-1条边的有向图
整张图是一条链，自然就可以用一维循环解决了

状态的简化

在这里，当i固定以后，counts其实已经被决定了，它没有其他可能
counts对于i来说，只是一个附加信息，并不影响状态的规模
把可以由其它数据决定的信息从状态中排除，得到的最简状态决定了问题的复杂度

指数型状态空间（子集)

排列型状态空间（全排列)

搜索

搜索就是采用直接遍历整个状态空间的方式寻找答案的一类算法
根据遍历状态空间（图）方式的不同，可分为

• 深度优先搜索（DFS, depth first search)
• 广度优先搜索(BFS, breadth first search)

一般来说，每个状态只遍历一次
所以当状态空间是“图”而不是“树”时，要判重（记忆化)

搜索题的解题步骤:

1. 纸上模拟，提取信息
2. 定义状态
3. 确定遍历顺序（DFS、BFS)
4. 定义搜索框架
5. 如果是DFS，状态作为参数，确定递归边界，注意还原现场
6. 如果是BFS，状态用队列保存
7. 考虑是否需要判重
8. 程序实现

实战

17.电话号码的字母组合
https://leetcode.cn/problems/letter-combinations-of-a-phone-number/

class Solution {
public:
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        this->digits = digits;
        alphabet['2'] = "abc";
        alphabet['3'] = "def";
        alphabet['4'] = "ghi";
        alphabet['5'] = "jkl";
        alphabet['6'] = "mno";
        alphabet['7'] = "pqrs";
        alphabet['8'] = "tuv";
        alphabet['9'] = "wxyz";
        if (digits.empty()) return {};
        dfs(0, "");
        return ans;
    }

private:
    void dfs(int index, string str) {
        if(index == digits.length()) {
            ans.push_back(str);
            return;
        }
        for(char ch : alphabet[digits[index]]) {
            dfs(index + 1, str + ch);
        }
    }

    string digits;
    vector<string> ans;
    unordered_map<char, string> alphabet;
};

51.N皇后
https://leetcode.cn/problems/n-queens/

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        this->n = n;
        used = vector<bool>(n, false);
        dfs(0);
        vector<vector<string>> result;
        for(vector<int>& p : ans) {
            vector<string> pattern(n , string(n, '.'));
            for(int row = 0; row < n; row++){
                pattern[row][p[row]] = 'Q';
            }
            result.push_back(pattern);
        }
        return result;
    }
private:
    void dfs(int row) {
        if(row == n) {
            ans.push_back(p);
            return ;
        }
        for(int col = 0;col < n; col++){
            if(!used[col] && !usedPlus[row + col] && !usedMinus[row - col]) {
                p.push_back(col);
                used[col] = true;
                usedPlus[row + col] = true;
                usedMinus[row - col] = true;
                dfs(row + 1);
                usedMinus[row - col] = false;
                usedPlus[row + col] = false;
                used[col] = false;
                p.pop_back();
            }
        }
    }

    int n;
    vector<int> p;
    vector<bool> used;
    unordered_map<int, bool> usedPlus;
    unordered_map<int, bool> usedMinus;
    vector<vector<int>> ans;
};

200.岛屿数量
https://leetcode.cn/problems/number-of-islands/

class Solution {
public:
    int numIslands(vector<vector<char>>& grid) {
        m = grid.size();
        n = grid[0].size();
        visited = vector<vector<bool>>(m, vector<bool>(n, false));
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                if(grid[i][j] == '1' && !visited[i][j]){
                    ans++;
                    bfs(grid, i , j);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
private:
    void bfs(vector<vector<char>>& grid, int sx, int sy) {
        queue<pair<int, int>> q;
        const int dx[4] = {-1, 0, 0, 1};
        const int dy[4] = {0, -1, 1, 0};
        q.push({sx, sy});
        visited[sx][sy] = true;
        while(!q.empty()){
            int x = q.front().first;
            int y = q.front().second;
            q.pop();

            for(int i = 0; i < 4; i ++){
                int nx = x + dx[i];
                int ny = y + dy[i];
                if(nx < 0 || nx >= m || ny < 0 || ny >=n ) continue;
                if(grid[nx][ny] != '1') continue;
                if(visited[nx][ny]) continue;
                q.push({nx, ny});
                visited[nx][ny] = true;
            }
        }
    }

    int m, n;
    vector<vector<bool>> visited;
};

130.被围绕的区域
https://leetcode.cn/problems/surrounded-regions/

class Solution {
public:
    void solve(vector<vector<char>>& board) {
        m = board.size();
        n = board[0].size();

        const int dx[4] = {-1, 0, 0, 1};
        const int dy[4] = {0, -1, 1, 0};

        fa = vector<int>(m * n + 1, 0);
        for(int i = 0; i <= m * n; i++) fa[i] = i;

        int outside = m*n;

        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                if (board[i][j] == 'X') continue;

                for(int k = 0; k < 4; k++) {
                    int ni = i + dx[k];
                    int nj = j + dy[k];
                    
                    if (ni < 0 || nj < 0 || ni >= m || nj >= n) {
                        unionSet(num(i, j), outside);
                    }else {
                        if (board[ni][nj] == 'O')
                            unionSet(num(i, j), num(ni, nj));
                    }
                }
            }
        for (int i = 0; i < m; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                if (board[i][j] == 'O' && find(num(i, j)) != find(outside))
                    board[i][j] = 'X';
    }

private:
    int find(int x) {
        if (x == fa[x]) return x;
        return fa[x] = find(fa[x]);
    }

    void unionSet(int x, int y) {
        x = find(x),y = find(y);
        if (x != y) fa[x] = y;
    }

    int num(int i, int j) {
        return i * n + j;
    }

    int m, n;
    vector<int> fa;
};

433.最小基因变化

https://leetcode.cn/problems/minimum-genetic-mutation/

class Solution {
public:
    // 解法2：双向bfs
    int minMutation(string start, string end, vector<string>& bank) {
        // 1：建立hashmap表，顺便去掉重复元素
        unordered_map<string,int> mp;
        for(const auto& b:bank)mp[b]=0;
        
        // 2：排除极端情况，end不在基因库中
        if(mp.count(end)==0)return -1;
        
        // 3：bfs的初始化工作
        queue<string> q1({start}),q2({end});// 前向队列，后向队列
        int step=0;
        const char table[4]={'A','C','G','T'};// 基因的字符
        // 或1表示前向队列由前往后遍历，或2表示后向队列由后向前遍历，每次我们选用较小的队列进行遍历
        for(mp[start]|=1,mp[end]|=2;q1.size()&&q2.size();++step)//每遍历完一次，步长+1
        {
            bool first=q1.size()<q2.size();
            queue<string> &q=first?q1:q2;// 选择较小的队列进行遍历节约时间
            int flag=first?1:2;// 此次遍历的方式
            
            for(int n=q.size();n--;q.pop()){
                string temp=q.front();// 这里不要使用引用
                if(mp[temp]==3)return step;// 两个队列碰头，返回步长
                for(int i=0;i<temp.size();++i){
                    for(int j=0;j<4;++j){
                        string s=temp;
                        if(s[i]==table[j])continue;// 重复字符，跳出循环，寻找下一个字符
                        s[i]=table[j];
                        if(mp.count(s)==0||mp[s]&flag)continue;// 该单词不在 map 中或该单词已经被遍历过了，跳出循环，寻找下一个单词
                        mp[s]|=flag;// 标记该单词已经被遍历过了
                        q.push(s);
                    }
                }
            }
        }
        return -1;
    }
};

class Solution {
public:
    int minMutation(string start, string end, vector<string>& bank) {
        depth[start] = 0;
        for(string& seq : bank) hashBank.insert(seq);
        if(hashBank.find(end) == hashBank.end()) return -1;
        queue<string> q;
        q.push(start);
        const char gene[4] = {'A', 'C', 'G', 'T'};
        while(!q.empty()){
            string s = q.front();
            q.pop();
            for(int i = 0; i < 8; i++){
                for(int j = 0; j < 4; j++){
                    if(s[i] != gene[j]) {
                        string ns = s;
                        ns[i] = gene[j];
                        if(hashBank.find(ns) == hashBank.end()) continue;
                        if(depth.find(ns) != depth.end()) continue;
                        depth[ns] = depth[s] + 1;
                        q.push(ns);
                        if(ns == end) {
                            return depth[ns];
                        }
                    }
                }
            }
        }

        return -1;
    }

private:
    unordered_set<string> hashBank;
    unordered_map<string, int> depth;
};

329.矩阵中的最长递增路径
https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-path-in-a-matrix/

class Solution {
    public int longestIncreasingPath(int[][] matrix) {
        this.matrix = matrix;
        m = matrix.length;
        n = matrix[0].length;
        dist = new int[m][n];
        dx = new int[]{-1, 0, 0, 1};
        dy = new int[]{0, -1, 1, 0};
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                ans = Math.max(ans, dfs(i, j));
            }
        }
        return ans;
    }

    int dfs(int x, int y) {
        if(dist[x][y] != 0) return dist[x][y];
        dist[x][y] = 1;
        for(int k = 0; k < 4; k++) {
            int nx = x + dx[k];
            int ny = y + dy[k];
            if(valid(nx, ny) && matrix[nx][ny] > matrix[x][y]) {
                dist[x][y] = Math.max(dist[x][y], dfs(nx, ny) + 1);
            }
        }
        return dist[x][y];
    }
    int[][] matrix;
    int m ,n;
    int[] dx;
    int[] dy;
    int[][] dist;

    boolean valid(int i, int j){
        return i >= 0 && i < m && j >=0 && j < n;
    }
}

class Solution {
public:
    int longestIncreasingPath(vector<vector<int>>& matrix) {
        m = matrix.size();
        n = matrix[0].size();
        to = vector<vector<int>>(m*n);
        deg = vector<int>(m * n, 0);
        dist = vector<int>(m * n, 0);
        const int dx[4] = {-1, 0, 0, 1};
        const int dy[4] = {0, -1, 1, 0};
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                for(int k = 0; k < 4; k++){
                    int ni = i + dx[k];
                    int nj = j + dy[k];
                    if(valid(ni, nj) && matrix[ni][nj] > matrix[i][j]) {
                        addEdge(num(i, j), num(ni, nj));
                    } 
                }
            }
        }
        queue<int> q;
        for(int i = 0; i < m * n; i++){
            if(deg[i] == 0) {
                q.push(i);
                dist[i] = 1;
            }
        }
        while(!q.empty()) {
            int x = q.front();
            q.pop();
            for(int y : to[x]) {
                deg[y]--;
                dist[y] = max(dist[y], dist[x] + 1);
                if(deg[y] == 0) q.push(y);
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < m*n; i++) ans = max(ans, dist[i]);
        return ans;

    }

private:
    int m, n;
    vector<vector<int>> to;
    vector<int> deg;
    vector<int> dist;

    void addEdge(int u, int v) {
        deg[v]++;
        to[u].push_back(v);
    }

    int num(int i, int j) {
        return i*n + j;
    }

    bool valid(int i, int j){
        return i >= 0 && i < m && j >=0 && j < n;
    }
};

DFS与BFS的对比

DFS更适合搜索树形状态空间

• 递归本身就会产生树的结构
• 可以用一个全局变量维护状态中较为复杂的信息（例:子集方案、排列方案)
• 不需要队列，节省空间

求“最小代价”、“最少步数”的题目，用BFS

• BFS是按层次序搜索，第k步搜完才会搜k＋1步，在任意时刻队列中至多只有两层

状态空间为有向无环图

• BFS拓扑排序/DFS记忆化搜索均可

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