AHP层次分析法详解

APH简介

起源

  层次分析法（AHP）是美国运筹学家Saaty于上世纪70年代初，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

APH实现

建立层次结构模型

  将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为目标层层、准则层和方案层，绘出层次结构图。 目标层是指决策的目的、要解决的问题。 方案层是指决策时的备选方案。 准则层是指考虑的因素、决策的准则。

构造成对比较矩阵

  在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。

因素i比因素j	量化值
同等重要	1
稍微重要	3
较强重要	5
强烈重要	7
极端重要	9
两相邻判断的中间值	2，4，6，8

  根据重要性程度评定的等级形成成对比较矩阵，在矩阵中，$a_{i,j}$表示因素$i$比因素$j$重要程度的量化值，$a_{i,i}=1$，$a_{j,i}=\frac{1}{a_{i,j}}$

层次单排序及其一致性检验

  对应于判断矩阵最大特征根${\lambda }_{max}$的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和为1）后记为$W$，$W$的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。定义不一致性指标
$$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}$$

• CI=0, 具有完全的一致性
• CI 接近于0，具有满意的一致性
• CI 越大，不一致越严重

  为了衡量$CI$的大小，引入随机一致性指标$RI$

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

  定义一致性比率：$CR=\frac{CI}{RI}$ ，一般认为一致性比率$CR<0.1$时，认为其不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对$a_{i,j}$ 加以调整。

层次总排序及其一致性检验

  计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序，这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

  准则层$m$个因素$C_1,C_2,...,C_m$，对总目标的排序$a_1,a_2,...,a_m$，方案层$n$个元素对因素层$C_j$的层次单排序为$b_{1j},b_{2j},...,b_{nj}(j=1,2,3,...,m)$。

  方案层层次总排序（即方案层第$i$个因素对总目标的权值）为：
$$\sum _{j=1}^m{a}_j{b}_{ij}$$

  层次总排序的一致性比率为:
$$CR=\frac{a_{1}C{I}_1+a_{2}C{I}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{m}C{I}_m}{a_{1}R{I}_1+a_{2}R{I}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{m}R{I}_m}$$

  当$CR<0.1$时，认为层次总排序通过一致性检验。