【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p21-23 二维连续型求边缘分布函数和密度函数,已知两个边缘密度函数求f(x,y)

二维连续型求边缘分布函数

题型如下:给出F(x,y),让我们求F(x),F(y)
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步骤:
F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) F_X(x)=F(x,+∞) \\F_Y(y)=F(+∞,y) FX(x)=F(x,+)FY(y)=F(+,y)

直接做上面那道例题:
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二维连续型求边缘密度函数

题干:给出F(x,y),让我们求f(x),f(y)
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方法:
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x)=\displaystyle \int^{+∞}_{-∞}{f(x,y)dy} \\f_Y(y)=\displaystyle \int^{+∞}_{-∞}{f(x,y)dx} fX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=+f(x,y)dx

步骤:
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我们以例1为例做一下:
第一步:
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第二步:
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第三步:**因为是求f(x),所以要作垂直于x轴的线。**最左边的蓝线和最右边的蓝线中间有几个格,公式里就会有几个区域。
这道题有两个区域。每个区域的积分上限是上边界的表达式,下限是下边界的表达式。这里是求f(x),所以是对x的表达式。
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然后得出答案:
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求f(y)同理:
要作垂直于y轴的线
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y的范围是区间。积分上限是右边线的y的表达式,下限是左边线的y的表达式。
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答案:
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接下来尝试自己做例2:
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解:
对x:
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对y:
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已知两个边缘密度函数求f(x,y)

其实就是已知f(x),f(y)来求f(x,y)。

如题:
在这里插入图片描述
步骤:
把f(x),f(y)不为0的表达式相乘,范围加在一起即可(相互独立,可以同时满足)
在这里插入图片描述

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