题目描述
这是 LeetCode 上的 827. 最大人工岛 ，难度为 困难。
Tag : 「并查集」、「枚举」
给你一个大小为 n x n 二进制矩阵 grid 。最多 只能将一格 0 变成 1 。
返回执行此操作后，grid 中最大的岛屿面积是多少？
岛屿 由一组上、下、左、右四个方向相连的 1 形成。
示例 1:
输入: grid = [[1, 0], [0, 1]]
输出: 3
解释: 将一格0变成1，最终连通两个小岛得到面积为 3 的岛屿。示例 2:
输入: grid = [[1, 1], [1, 0]]
输出: 4
解释: 将一格0变成1，岛屿的面积扩大为 4。示例 3:
输入: grid = [[1, 1], [1, 1]]
输出: 4
解释: 没有0可以让我们变成1，面积依然为 4。提示：
- $n = grid.length$
- $n == grid[i].length$
- $1 <= n <= 500$
grid[i][j]为0或1
并查集 + 枚举
为了方便，我们令 grid 为 g。
根据题意，容易想到通过「并查集」来维护所有连通块大小，再通过「枚举」来找最优翻转点。
具体的，我们可以先使用「并查集」维护所有 $g[i][j] = 1$ 的块连通性，并在维护连通性的过程中，使用 sz[idx] 记录下每个连通块的大小（注意：只有连通块根编号，sz[idx] 才有意义，即只有 sz[find(x)] 才有意义）。
随后我们再次遍历 g，根据原始的 $g[i][j]$ 的值进行分别处理：
- 若 $g[i][j] = 1$，该位置不会作为翻转点，但真实最大面积未必是由翻转后所导致的（可能取自原有的连通块），因此我们需要将 $sz[root]$ 参与比较，其中
root为 $(i, j)$ 所属的连通块根节点编号； - 若 $g[i][j] = 0$，该位置可作为翻转点，我们可以统计其四联通位置对应的连通块大小总和
tot（注意若四联通方向有相同连通块，只统计一次），那么 $tot + 1$ 即是翻转该位置所得到的新连通块大小。
最后对所有连通块大小取最大值即是答案。
一些细节：为了方便，我们令点 $(i, j)$ 的编号从 $1$ 开始；
同时由于我们本身就要用sz数组，因此我们可以随手把并查集的「按秩合并」也加上。体现在union操作时，我们总是将小的连通块合并到大的连通块上，从而确保我们并查集单次操作即使在最坏情况下复杂度仍为 $O(\alpha(n))$（可看作常数）。需要注意只有同时应用「路径压缩」和「按秩合并」，并查集操作复杂度才为 $O(\alpha(n))$。
Java 代码：
class Solution {
static int N = 510;
static int[] p = new int[N * N], sz = new int[N * N];
int[][] dirs = new int[][]{{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
void union(int a, int b) {
int ra = find(a), rb = find(b);
if (ra == rb) return ;
if (sz[ra] > sz[rb]) {
union(b, a);
} else {
sz[rb] += sz[ra]; p[ra] = p[rb];
}
}
public int largestIsland(int[][] g) {
int n = g.length;
for (int i = 1; i <= n * n; i++) {
p[i] = i; sz[i] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (g[i][j] == 0) continue;
for (int[] di : dirs) {
int x = i + di[0], y = j + di[1];
if (x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n || g[x][y] == 0) continue;
union(i * n + j + 1, x * n + y + 1);
}
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (g[i][j] == 1) {
ans = Math.max(ans, sz[find(i * n + j + 1)]);
} else {
int tot = 1;
Set set = new HashSet<>();
for (int[] di : dirs) {
int x = i + di[0],y = j + di[1];
if (x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n || g[x][y] == 0) continue;
int root = find(x * n + y + 1);
if (set.contains(root)) continue;
tot += sz[root];
set.add(root);
}
ans = Math.max(ans, tot);
}
}
}
return ans;
}
} TypeScript 代码：
const N = 510
const p = new Array(N * N).fill(-1), sz = new Array(N * N).fill(1)
const dirs = [[1,0], [-1,0], [0,1], [0,-1]]
function find(x: number): number {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x])
return p[x]
}
function union(a: number, b: number): void {
const ra = find(a), rb = find(b)
if (ra == rb) return
if (sz[ra] > sz[rb]) {
union(rb, ra)
} else {
sz[rb] += sz[ra]; p[ra] = p[rb]
}
}
function largestIsland(g: number[][]): number {
const n = g.length
for (let i = 1; i <= n * n; i++) {
p[i] = i; sz[i] = 1
}
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
if (g[i][j] == 0) continue
for (const di of dirs) {
const x = i + di[0], y = j + di[1]
if (x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n || g[x][y] == 0) continue
union(i * n + j + 1, x * n + y + 1)
}
}
}
let ans = 0
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
if (g[i][j] == 1) {
ans = Math.max(ans, sz[find(i * n + j + 1)])
} else {
let tot = 1
const set = new Set()
for (let di of dirs) {
const x = i + di[0], y = j + di[1]
if (x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n || g[x][y] == 0) continue
const root = find(x * n + y + 1)
if (set.has(root)) continue
tot += sz[root]
set.add(root)
}
ans = Math.max(ans, tot)
}
}
}
return ans
}; Python 代码：
class Solution:
def find(self, p, x):
if p[x] != x:
p[x] = self.find(p, p[x])
return p[x]
def union(self, p, sz, a, b):
ra, rb = self.find(p, a), self.find(p, b)
if ra == rb:
return
if sz[ra] > sz[rb]:
ra, rb = rb, ra
sz[rb] += sz[ra]
p[ra] = p[rb]
def largestIsland(self, g: List[List[int]]) -> int:
n, ans = len(g), 0
p, sz = [i for i in range(n * n + 10)], [1 for _ in range(n * n + 10)]
dirs = [[1,0],[-1,0],[0,1],[0,-1]]
for i in range(n):
for j in range(n):
if g[i][j] == 0:
continue
for di in dirs:
x, y = i + di[0], j + di[1]
if x < 0 or x >= n or y < 0 or y >= n or g[x][y] == 0:
continue
self.union(p, sz, i * n + j + 1, x * n + y + 1)
for i in range(n):
for j in range(n):
if g[i][j] == 1:
ans = max(ans, sz[self.find(p, i * n + j + 1)])
else:
tot = 1
vis = set()
for di in dirs:
x, y = i + di[0], j + di[1]
if x < 0 or x >= n or y < 0 or y >= n or g[x][y] == 0:
continue
root = self.find(p, x * n + y + 1)
if root in vis:
continue
tot += sz[root]
vis.add(root)
ans = max(ans, tot)
return ans- 时间复杂度：$O(n^2)$
- 空间复杂度：$O(n^2)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.827 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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