【晨读算法】为什么经常看到使用朴素贝叶斯公式的时候把分母忽略了？

我们以李航老师《统计学习方法》上面的定义为例：

朴素贝叶斯法对条件概率分布做了条件独立性的假设。由于这是一个较强的假设，朴素贝叶斯也由此得名。具体地，条件独立性假设是：
$$\begin{gathered} P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},\cdots ,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k) \\ =\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

朴素贝叶斯法分类时，对给定的输入$x$，通过学习到的模型计算后验概率分布：
$$P(Y=c_k|X=x)$$
将后验概率最大的类作为$x$的类输出。

后验概率计算根据贝叶斯定理进行：
$$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{\sum _{k}P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
将（1）式代入（2）式，有：
$$P（Y=c_k|X=x)=\frac{P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{\sum _{k}P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)},k=1,2,\cdots ,K$$
这是朴素贝叶斯法分类的基本公式。于是，朴素贝叶斯分类器可以表示为：
$$y=f(x)=\underset{c_k}{\mathrm{argmax}}\frac{P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{\sum _{k}P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}$$
注意到，在上式中，分母对所有的$c_k$都是相同的，所以：
$$y=\underset{c_k}{\mathrm{argmax}}P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

到这里，我遇到了一个问题，为什么说分母对所有的$c_k$都是相同的？

我们以最简单的二分类问题来解读，那么我们知道$c=0$或者$c=1$，则：
$$y_1=\frac{P(Y=0)\prod P(X=x_i|Y=0)}{P(Y=0)\prod P(X=x_i|Y=0)+P(Y=1)\prod P(X=x_i|Y=1)}$$
$$y_2=\frac{P(Y=1)\prod P(X=x_i|Y=1)}{P(Y=1)\prod P(X=x_i|Y=1)+P(Y=0)\prod P(X=x_i|Y=0)}$$
可以看到，分母部分二者是完全一样的式子，所以实际上分母的取值对于所有$c$来说，始终是一样的，因此我们常常将分母省略。