python非线性规划scipy.optimize.minimize介绍

目录

      • 0. 官方说明
      • 1. Parameters
      • 2. Returns
      • 3. 案例
        • 1)无约束求极值
        • 2)有约束求极值
    • 参考资料

0. 官方说明

在 python 里用非线性规划求极值,最常用的就是 scipy.optimize.minimize()。最小化一个或多个变量的标量函数。(Minimization of scalar function of one or more variables.)

scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)

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1. Parameters

  • fun:需要被最小化的目标函数(objective function)

  • x0:初始猜想值,形状(n, )

    • 大小为 (n,) 的实数元素数组,其中 “n” 是自变量的数量。
  • args:tuple元组,可选的 Optional

    • 传递给目标函数及其导数(fun、jac 和 hess 函数)的额外参数。
  • method : str or callable, 可选的
    求解器的类型,应该从下面选取一种
    如果未给出,则选择 BFGS、L-BFGS-B、SLSQP 之一,具体取决于问题是否有约束或界限。

          - 'Nelder-Mead' :ref:`(see here) `
          - 'Powell'      :ref:`(see here) `
          - 'CG'          :ref:`(see here) `
          - 'BFGS'        :ref:`(see here) `
          - 'Newton-CG'   :ref:`(see here) `
          - 'L-BFGS-B'    :ref:`(see here) `
          - 'TNC'         :ref:`(see here) `
          - 'COBYLA'      :ref:`(see here) `
          - 'SLSQP'       :ref:`(see here) `
          - 'trust-constr':ref:`(see here) `
          - 'dogleg'      :ref:`(see here) `
          - 'trust-ncg'   :ref:`(see here) `
          - 'trust-exact' :ref:`(see here) `
          - 'trust-krylov' :ref:`(see here) `
          - custom - a callable object (added in version 0.14.0),
    
  • jac: {callable, ‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’, bool}, optional ,目标函数的雅可比矩阵。

  • bounds:可选项,变量的边界(仅适用于L-BFGS-B,TNC和SLSQP)。以(min,max)对的形式定义 x 中每个元素的边界。如果某个参数在 min 或者 max 的一个方向上没有边界,则用 None 标识。如(None, max)

  • constraints:约束条件(只对 COBYLA 和 SLSQP)。

  • bounds:可选项,变量的边界(仅适用于L-BFGS-B,TNC和SLSQP)。以(min,max)对的形式定义 x 中每个元素的边界。如果某个参数在 min 或者 max 的一个方向上没有边界,则用 None 标识。如(None, max)

  • constraints:约束条件(只对 COBYLA 和 SLSQP)。

2. Returns

  • res:优化结果
    • 优化结果表示为“OptimizeResult”对象。
    • 重要的属性是:x 解决方案数组,success 一个布尔标志,指示优化器是否成功退出,message 描述终止原因。 有关其他属性的描述,请参阅 OptimizeResult

3. 案例

1)无约束求极值

计算 1/x+x 的最小值

# coding=utf-8
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
 
#demo 1
#计算 1/x+x 的最小值
 def fun(args):
     a=args
     v=lambda x:a/x[0] +x[0]
     return v
 
 if __name__ == "__main__":
     args = (1)  #a
     x0 = np.asarray((2))  # 初始猜测值
     res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP')
     print(res.fun)  # 函数的最小值
     print(res.success)
     print(res.x)  # x 解决方案数组

执行结果:

2.0000000815356342 (函数的最小值)
True
[1.00028559]

2)有约束求极值

例2-1 计算 (2+x1)/(1+x2) - 3x1+4x3 的最小值, x1, x2, x3 都处于[0.1, 0.9] 区间内。

def fun(args):
    a,b,c,d = args
    v = lambda x: (a+x[0])/(b+x[1]) -c*x[0]+d*x[2]
    return v
    
def con(args):
    # 约束条件 分为eq 和ineq
    # eq表示 函数结果等于0 ; ineq 表示 表达式大于等于0  
    x1min, x1max, x2min, x2max, x3min, x3max = args
    cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - x1min},\
            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[0] + x1max},\
            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - x2min},\
            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[1] + x2max},\
            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - x3min},\
            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[2] + x3max})
    return cons
 
# 定义常量值
args = (2,1,3,4)  # a,b,c,d

# 设置参数范围/约束条件
args1 = (0.1,0.9,0.1, 0.9,0.1,0.9)  # x1min, x1max, x2min, x2max
cons = con(args1)

# 设置初始猜测值  
x0 = np.asarray((0.5,0.5,0.5))

res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP',constraints=cons)
print(res.fun)
print(res.success)
print(res.x)

执行结果:

  • 0.773684210526435
  • True
  • [0.9 0.9 0.1]

例2-2 解决以下优化问题
m i n i m i z e x [ 0 ] , x [ 1 ] l o g 2 ( 1 + x [ 0 ] × 2 3 + l o g 2 x [ 1 ] × 3 4 ) minimize_{x[0],x[1]}log_2(1+\frac{x[0]\times2}{3}+log_2\frac{x[1]\times3}{4}) minimizex[0],x[1]log2(1+3x[0]×2+log24x[1]×3)
s . t . s.t. s.t.
l o g 2 ( 1 + x [ 0 ] × 2 5 ) ≥ 5 log_2(1+\frac{x[0]\times2}{5})\geq5 log2(1+5x[0]×2)5
l o g 2 ( 1 + x [ 0 ] × 6 4 ) ) ≥ 5 log_2(1+\frac{x[0]\times6}{4}))\geq5 log2(1+4x[0]×6))5

# 目标函数
def fun(a,b,c,d):
    def v(x):
        return np.log2(1+x[0]*a/b)+np.log2(1+x[1]*c/d)
    return v
    
#限制条件函数
def con(a,b,i):
    def v(x):
        return np.log2(1 + x[i] * a / b)-5
    return v

# 定义常量值
args = [2, 1, 3, 4]  # a,b,c,d
args1 = [2, 5, 6, 4] 

# 设置初始猜测值
x0 = np.asarray((0.5, 0.5))

#设置限制条件
cons = ({'type': 'ineq', 'fun': con(args1[0],args1[1],0)},
        {'type': 'ineq', 'fun': con(args1[2],args1[3],1)},
        )

res = minimize(fun(args[0], args[1], args[2], args[3]), x0, constraints=cons)
print(res.fun)
print(res.success)
print(res.x)

输出结果:

  • 11.329796332293162
  • True
  • [77.5 20.66666658]

参考资料

[1] 官网资料 2022.9.19
[2] 非线性规划(scipy.optimize.minimize);

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