C++Legendre定理及其例题讲解—————方程

前言：

Legendre定理是一个你无法想象到的定理，而它的用处也是十分的大，现在亲听我慢慢讲解。

Legendre定理：

设n为一个正整数，那么在的标准素因子分解式中，素数p的最高次项为，则

                                                              

当模数不为素数，且不方便使用CRT进行合并时，可以考虑对组合数分解质因数，由于组合数可以写为一个阶乘除以两个阶乘的形式，可以对这三个阶乘分别分解质因数，然后使用指数的减法，得到最后组合数的标准分解。

证明我就不在这里细说了，反正这个定理可以让我们快速求出p的指数。

下面是例题。

题目描述：

求方程的非负整数解的组数

n,k≤100,000，答案对20080814取模

输入：

仅一行，包含两个正整数n,k。

输出：

一个整数，表示方程不同解的个数，这个数可能很大，你只需输出mod 20080814 的结果。

样例输入:

1 1

样例输出：

1

思路分析：

利用隔板法，答案为

由于20080814=2*13*772339（3个均为质因数），故可以用CRT。

也可以用Legendre定理分解阶乘的质因数。

但是此题的输入有坑，n，k需要特殊处理，详见代码。

代码实现：

#include
#include
#include
using namespace std;
#define ll long long
ll n,m,p[200005],w[200005],k,ans=1;
bool v[200005];
ll olsf()//欧拉筛法求素数
{
    for(ll i=2;i<=n+1;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            k++;
            p[k]=i;
            v[i] = 1;
        }
        for(ll j=1;j<=k&&p[j]*i<=n+1;j++)
        {
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
                break;
        }
    }
}
ll qkpow(ll x,ll y)//快速幂不解释
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=(ans*x)%20080814;
        x=(x*x)%20080814;
        y/=2;
    }
    return ans%20080814;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    n=n+m-1;
    m--;
    olsf();
    for(ll i=1;i<=k;i++)//求分子的分解
        for(ll j=p[i];j<=n;j*=p[i])
            w[i]+=n/j;
    for(ll i=1;i<=k;i++)//求分母的分解
        for(ll j=p[i];j<=m;j*=p[i])
            w[i]-=m/j;
    for(ll i=1;i<=k;i++)
        for(ll j=p[i];j<=n-m;j*=p[i])
            w[i]-=(n-m)/j;
    for(ll i=1;i<=k;i++)
        ans=(ans*qkpow(p[i],w[i]))%20080814;
    printf("%lld",ans);
}

鸣谢大佬的详解。