【枚举】AcWing 1236. 递增三元组

1236. 递增三元组

题目描述

给定三个整数数组

$A=[A_1,A_2,\dots A_N],$
$B=[B_1,B_2,\dots B_N],$
$C=[C_1,C_2,\dots C_N],$

请你统计有多少个三元组 (i,j,k) 满足：

1. $1\le i,j,k\le N$
2. $A_i<B_j<C_k$

输入格式：

第一行包含一个整数 N。

第二行包含 N 个整数 $A_1,A_2,\dots A_N$。

第三行包含 N 个整数 $B_1,B_2,\dots B_N$。

第四行包含 N 个整数 $C_1,C_2,\dots C_N$。

输出格式：

一个整数表示答案。

数据范围

• $1\le N\le 10^5$
• $0\le A_i,B_i,C_i\le 10^5$

输入样例

3
1 1 1
2 2 2
3 3 3

输出样例

27

方法一：暴力解法

解题思路

使用三层 for 循环，第一层 for 循环依次枚举 A 数组里的每个元素，第二层 for 循环依次枚举 B 数组里的每个元素，第三层 for 循环依次枚举 C 数组里的每个元素，然后判断当前三个元素是否满足条件 A[i] < B[j] && B[j] < C[k]，满足情况的计数。

但是如果数组最大长度为 $10^5$，遍历三个数组所需的时间 $3\times 10^5$，肯定会超时。

代码

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int A[N], B[N], C[N];
int res = 0;
int n;

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        cin >> A[i];
    for(int i = 0; i < n; i++)
        cin >> B[i];
    for(int i = 0; i < n; i++)
        cin >> C[i];
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++)
            for(int k = 0; k < n; k++)
                if(A[i] < B[j] && B[j] < C[k])
                    res++;
    cout << res;
    return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n^3)$
• 空间复杂度：O(n)

方法二：排序 + 二分

解题思路

先对 A 数组 和 C 数组进行排序。

我们以 B 数组中的每个元素作为中间值，然后利用二分查找去 A 数组找到 < B[i] 的最大元素的位置，去 C 数组找到 > B[i] 的最小元素的位置，然后对应于每一个 B[i] 可构成的三元组个数为 $l\_num\times r\_num$，即 A 数组中 < B[i] 的元素的个数 * C 数组中 > B[i] 的元素的个数。

代码

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int A[N], B[N], C[N];
int n;
long long res = 0;

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++)  cin >> A[i];
    for(int i = 0; i < n; i++)  cin >> B[i];
    for(int i = 0; i < n; i++)  cin >> C[i];
    sort(A, A + n);
    sort(C, C + n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        long long l_num = 0, r_num = 0;
        long long l = 0, r = n - 1, mid;
        while(l < r) {
            mid = l + (r - l + 1) / 2;
            if(A[mid] < B[i])    l = mid;
            else    r = mid - 1;
        }
        if(A[l] < B[i])
            l_num = l + 1;
        l = 0, r = n - 1;
        while(l < r) {
            mid = l + (r - l) / 2;
            if(C[mid] > B[i])    r = mid;
            else    l = mid + 1;
        }
        if(C[l] > B[i]) 
            r_num = n - l;
        res += l_num * r_num;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

这里二分查找的算法可以用 STL 的内置函数来替代，代码更简洁一些。

lower_bound(A, A+n, B[i]) 函数返回 A 数组中 >= B[i] 的第一个元素的位置。
upper_bound(C, C+n, B[i]) 函数返回 C数组中 > B[i] 的第一个元素的位置。

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int A[N], B[N], C[N];
int n;
long long res = 0;

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++)  cin >> A[i];
    for(int i = 0; i < n; i++)  cin >> B[i];
    for(int i = 0; i < n; i++)  cin >> C[i];
    sort(A, A + n);
    sort(C, C + n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        long long l_num = 0, r_num = 0;
        l_num = lower_bound(A, A + n, B[i]) - A;
        r_num = n - (upper_bound(C, C + n, B[i]) - C);
        res += l_num * r_num;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(n)

方法三：前缀和

解题思路

我们以 B 数组的每一个 B[i] 作为中间数，用 cnt_A 数组来统计 A 数组中的元素出现的次数，用 cnt_C 数组来统计 C 数组中的元素出现的次数。然后再使用 AS，CS 两个数组来存放 cnt_A 和 cnt_C 的前缀和。

其中 AS[i] 和 CS[i] 表示 <= B[i] 的元素的个数，所以 A 数组中小于 B[i] 的元素个数为 AS[B[i] - 1]，C 数组中大于 B[i] 的元素个数为 CS[N] - CS[B[i]]，对于每一个 B[i] 求出 l_num 和 r_num，两者相乘，最后累加。

代码

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int A[N], B[N], C[N];
int cnt_A[N], cnt_C[N];
long long AS[N], CS[N];
int n;
long long res = 0;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &A[i]); cnt_A[A[i]] += 1; }
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &B[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &C[i]); cnt_C[C[i]] += 1; }
    
    AS[0] = cnt_A[0], CS[0] = cnt_C[0];
    for(int i = 1; i <= N; i++) AS[i] = AS[i - 1] + cnt_A[i];
    for(int i = 1; i <= N; i++) CS[i] = CS[i - 1] + cnt_C[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        long long l_num = AS[B[i] - 1];
        long long r_num = CS[N] - CS[B[i]];
        res += l_num * r_num;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

方法四：双指针

解题思路

先对三个数组都进行排序。

然后遍历 B 数组，以每个 B[i] 为中间数，使用双指针 l 和 r，用 l 来定位 A 数组中第一个大于等于 B[i] 的元素位置，此时的 l 即为 A 数组中小于 B[i] 的元素的个数 l_num；用 r 来定位 C 数组中第一个大于 B[i] 的元素位置，此时的 n - r 即为 C 数组中大于 B[i] 的元素的个数 r_num，最后对每个 B[i] 的 l_num 和 r_num 相乘最后累计求和。

代码

#include
#include
#include

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;

int n;
int a[N], b[N], c[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &b[i]);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &c[i]);

    sort(a, a + n);
    sort(b, b + n);
    sort(c, c + n);

    LL res = 0, l = 0, r = 0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        while(l < n && a[l] < b[i]) l++;
        while(r < n && c[r] <= b[i]) r++;
        res += l * (n - r);
    }

    cout << res << endl;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(n)