03 高等数学专题——多元函数微积分
多元函数微积分学
- 一、多元函数微分学
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- 1.1、多元函数微分学概念
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- 连续、可偏导、可微、方向导数存在的定义
- 多元函数可微、可偏导、连续的关系
- 复合函数求偏导（链式法则）、全微分的计算
- 隐函数求偏导（隐函数存在定理、等式两边求导法）
- 1.2 方向导数、梯度的计算
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- 计算梯度：
- 计算方向导数：
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- 1.3 法向量、方向余弦、梯度
- 1.4 梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot)
- 1.5 多元函数极值问题
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- 无条件极值
- 条件极值（拉格朗日乘数法）
- 限定条件的最值问题（驻点+偏导不存在+每个边界）
- 二、多元函数积分学：先用对称性质
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- 2.0、积分的对称性（奇偶对称性与轮换对称性）
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- 1.定积分、二重、三重、第一型曲线曲面积分的对称性
- 2.第二型曲线曲面积分的对称性
- 2.1、一重积分:对f(x)积分，被积区域是坐标轴
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- 1.物理意义：
- 2.定积分的应用：
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- 1、定积分定义
- 2、旋转体的体积
- 3、旋转体的表面积
- 3.重积分的应用
- 2.2、二重积分:对f(x,y)积分，被积区域是平面
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- 1.计算方法：
- 2.物理意义
- 2.3、三重积分: 对f(x,y,z)积分，被积区域是立体
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- 1.计算方法：先积的变量转化为后积的变量
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- 1）先一后二法：投影法
- 2）先二后一法：切苹果
- 3）球面坐标系
- 2.物理意义：
- 2.4、第一类曲线积分：
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- 1.定义：
- 2.物理意义：
- 3.计算方法：ds转化为dx，再定积分
- 2.6、第一类曲面积分:
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- 1.定义：
- 2.物理意义：
- 3.计算方法：ds转化为dxdy，再二重积分
- 2.5、第二类曲线积分：对矢量的第一类曲线积分
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- 1.定义：
- 2.物理意义：
- 3.基本计算方法：dx与dy转化为dt，转化到定积分
- 4. 平面曲线的格林公式:转化到二重积分
- 5.空间曲线的斯托克斯公式：转化到某类曲面积分
- 注：
- 2.7、第二类曲面积分：对矢量的第一类曲面积分
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- 1.定义
- 2.物理意义：
- 3.基本计算方法：三个化为一个（方向余弦的关系）,换元转化到二重积分
- 4.高斯公式：转化到三重积分
一、多元函数微分学
1.1、多元函数微分学概念
连续、可偏导、可微、方向导数存在的定义
多元函数可微、可偏导、连续的关系
可微=>可偏导（可导指两个偏导数存在，反之不成立，例如定义域只在两个坐标轴）
可微=>连续（反之不成立，例如墙角的折叠的面，连续但不可微）
复合函数求偏导（链式法则）、全微分的计算
隐函数求偏导（隐函数存在定理、等式两边求导法）
隐函数存在定理可以通过把一个变量看作其他变量的函数证明
1.2 方向导数、梯度的计算
物理意义：
一元函数求导数是描述在线上的点在坐标轴方向的变化率
二元函数求偏导数是描述面上的点在坐标轴方向的变化率
二元函数求方向导数描述面上的点沿着任意一个指定方向的变化率
方向导数标量，描述沿着某个方向的变化率
梯度矢量，描述多元函数变化率最大的方向
综上：沿着梯度矢量的方向，方向导数标量取最大值
计算梯度：
用来计算方向导数的梯度不能化简！
梯度函数：通过标量方程求偏导数组成的矢量函数，
某点的梯度：是一个确定的矢量，梯度函数带入点的坐标（二维或三维）
计算方向导数：
影响大小因素——点的坐标即梯度，单位方向向量(方向余弦)
方向导数函数：梯度函数 点积 方向余弦
某点、某方向的方向导数：该点梯度 点积 某方向方向余弦
某点方向导数最大值：该点梯度 点积 沿梯度方向余弦=梯度模
1.3 法向量、方向余弦、梯度
圆锥举例——曲面上点梯度与曲线的法向量的关系:
平面曲线：二元方程 y 2 + x 2 = 1 y^2+x^2=1 y2+x2=1
空间曲面：二元函数 f = x 2 + y 2 f=x^2+y^2 f=x2+y2，三元方程 f − y 2 − x 2 = 0 f-y^2-x^2=0 f−y2−x2=0
空间曲面求梯度 δ ( f ) δ ( x ) i + δ ( f ) δ ( y ) j \frac{\delta(f)}{\delta(x)}i+\frac{\delta(f)}{\delta(y)}j δ(x)δ(f)i+δ(y)δ(f)j
平面曲线是空间曲面的一个特例,一条等高线，垂直等高线变化最快
曲面上的点增长最快的方向，投影就是曲线的法向
知乎：梯度与面的法向量的关系
1.4 梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot)
梯度、散度、旋度专题
1.5 多元函数极值问题
无条件极值
条件极值（拉格朗日乘数法）
解拉格朗日乘数法的方程：相似的因式作差
得到所以可能的极值点，然后自己带入判断是极大还是极小值
限定条件的最值问题（驻点+偏导不存在+每个边界）
二、多元函数积分学：先用对称性质
2.0、积分的对称性（奇偶对称性与轮换对称性）
1.定积分、二重、三重、第一型曲线曲面积分的对称性
被积函数的奇偶对称性是关于某个变量的，例：f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)
被积区域的对称性是关于某个轴（面）可以翻转过来，例：[-1,1]的区域
eg：y=|x|在-1到1上积分，等于两倍的在[0,1]上积分
2.第二型曲线曲面积分的对称性
如果被积变量中不含那个积分变量，那肯定没有对称性
其他与前面结论相反：偶函数是0.奇函数是2倍
2.1、一重积分:对f(x)积分，被积区域是坐标轴
1.物理意义：
平面上的直线或曲线与坐标轴围成的面积
2.定积分的应用：
1、定积分定义
2、旋转体的体积
3、旋转体的表面积
3.重积分的应用
形心或质心、转动惯量
2.2、二重积分:对f(x,y)积分，被积区域是平面
1.计算方法：
1.直角坐标系：穿线法
2.极坐标系：注意半径的起始大小，对于圆心不在原点的圆同样适用
3.换元法（雅克比行列式）
2.物理意义
1：求密度不均匀的面的质量（f(x,y)表示密度）
2：求以曲面为顶的柱体的体积（f(x,y)表示高度）
注1：被积函数为1，就是被积区域的面积 或 高度为1的柱体体积
注2：二重积分上限大于下限，二次积分上限不一定大于下限
2.3、三重积分: 对f(x,y,z)积分，被积区域是立体
1.计算方法：先积的变量转化为后积的变量
1.直角坐标系：转换为二重积分
1）先一后二法：投影法
直角坐标系
“先一”： 上下限是x、y表达式，积分结果只含x、y
" 后二"：投影的二重积分，可能用到极坐标
柱面坐标系：先一后二的变形 ( x , y , z ) 变 成 ( θ , r , z ) (x,y,z)变成(\theta,r,z) (x,y,z)变成(θ,r,z)
“先z”：积分上下限是两个面z=z2(x,y),z=z1(x,y)用（r, θ \theta θ）
ρ 与 θ 适 用 于 g x 2 + y 2 或 者 被 积 区 域 是 柱 体 \rho与 \theta 适用于g\sqrt{x^2+y^2}或者被积区域是柱体 ρ与θ适用于gx2+y2或者被积区域是柱体
2）先二后一法：切苹果
“先二”： ( x , y , z ) 变 成 ( z , θ , r ) (x,y,z)变成(z,\theta,r) (x,y,z)变成(z,θ,r)
被积函数含x、y,可能用到极坐标上限变成含z的式子（z当成常数）
被积函数是1，"先二"就变成每层苹果的面积可以由含z的式子代替！！
“后一”：z上下限是常数的定积分
3）球面坐标系
r 与 θ 与 ϕ 适 用 于 f ( x 2 + y 2 + z 2 ) 或 者 被 积 分 区 域 是 球 体 、 锥 体 r与 \theta 与\phi 适用于f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})或者被积分区域是球体、锥体 r与θ与ϕ适用于f(x2+y2+z2)或者被积分区域是球体、锥体
2.物理意义：
求密度不均匀的立体的质量（f(x,y,z)表示密度）
注：被积函数为1，就是被积区域的体积
2.4、第一类曲线积分：
1.定义：
对弧长的曲线积分，被积区域是无方向曲线L，微元ds
2.物理意义：
给平面曲线的密度f(x,y)或空间曲线的密度f(x,y,z)，求曲线的质量
注：被积函数为1，求曲线的弧长
3.计算方法：ds转化为dx，再定积分
参数方程换元，弧微分ds=勾股定理dx与dy
空间曲线如何转化为参数方程：令某个变量为t,计算剩下两个变量如何用t表示
2.6、第一类曲面积分:
1.定义：
对面积的曲面积分,被积区域是无方向曲面S，微元dS
2.物理意义：
对给定空间曲面的密度f(x,y,z)，计算该曲面的质量。
注：被积函数为1就是求曲面的面积
3.计算方法：ds转化为dxdy，再二重积分
曲面微分dS 乘以 曲面上一点的在z轴的方向余弦=平面微分dxdy
z=z(x,y)的方向余弦cos r通过法向量得到
2.5、第二类曲线积分：对矢量的第一类曲线积分
1.定义：
对坐标的曲线积分是对矢量的第一类曲线积分
被积区域分解到坐标轴，被积函数的坐标轴分量分别积分
2.物理意义：
力的矢量拉着物体沿着曲线运动所做的功，将沿切向的小段位移分解到垂直的坐标轴上；同时将小段作用力也分解到垂直的坐标轴上，坐标轴分别作积分再求和得到总功。已知路径曲线方程，已知x,y两个方向的力分量或者x,y,z三个方向的力的分量，求功（有方向）
3.基本计算方法：dx与dy转化为dt，转化到定积分
参数方程换元
4. 平面曲线的格林公式:转化到二重积分
1.封闭第二类平面曲线积分转化到二重积分
2.条件：平面封闭曲线、正向、具有一阶连续偏导数
5.空间曲线的斯托克斯公式：转化到某类曲面积分
1.封闭第二类曲线积分(=封闭对矢量的第一类曲线积分)=旋度矢量的第一类曲面积分=第二类曲面积分
2.条件：空间封闭曲线、正向、具有一阶连续偏导数
转化为对矢量的第一类曲面积分：
通过右手定则选定一个面的方向，称为这个曲面的正向
然后转化为第二类曲面积分的计算
转化为第二类曲面积分：
注：
1.封闭的曲线满足使用格林公式或斯托克斯公式可以使用这两个公式
2.不封闭曲线如果满足积分与路径无关条件好算（本质还是格林或斯托克斯公式）
题型：补线法、挖孔法、补面法、挖洞法
2.7、第二类曲面积分：对矢量的第一类曲面积分
1.定义
点在直线上与点在某个面上有不同的价值
1.对坐标的曲面积分,被积区域分解到坐标平面
面的两个相反的法向量对应面的不同侧
2.物理意义：
在曲面上每一点的法向量与速度矢量做点积得到通量
给x,y,z分别方向上的流速，告诉你面方程，指定方向，求流量
3.基本计算方法：三个化为一个（方向余弦的关系）,换元转化到二重积分
注：
1.如果计算三个投影，不如利用方向余弦转换为计算一个投影
2.流量结果可正可负：
通过题干条件，确定曲面是哪一侧
根据曲面方向(法向量)与坐标轴夹角cosr，决定添加正负号
eg:
方向向量与坐标轴的三个正向都相同，则肯定为正
方向向量与坐标轴的三个正向都相反，则肯定为负
投影到xoy面，则判断这一侧的法向量朝上为正
4.高斯公式：转化到三重积分
1.封闭第二类曲面积分(=封闭对矢量的第一类曲面积分)=散度的三重积分
2.空间闭区域；具有一阶连续偏导数；曲面外侧
注：
