微积分笔记（一）--预备知识

预备知识

什么是微积分

微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

预备知识主要复习在开始学习微积分时要知道的最重要的知识，重点是函数和图形。

一、 直线

证明微积分是如此有用的一个理由在于微积分是把一个量的变化率和该量的图形联系起来的正确的数学，解释这种关系要从直线的斜率开始。

1.1 增量

定义：如果一个质点从点(x₁,y₁)，移动到点(x₂,y₂)，其坐标的增量为

∆x = x₂ - x₁ 和 ∆y = y₂ - y₁ .

增量可以是正的、负的或零。记号 ∆ 读作 “delta”。

1.2 直线的斜率

每条非垂直的直线l，有一个斜率，每行进单位距离时高度的变化称为直线的斜率。

我们称 ∆y = y₂ - y₁ 为 P₁ 到 P₂ 的升高，∆x = x₂ - x₁ 是从 P₁ 到 P₂ 行进的距离。

定义：设 P₁ (x₁,y₁) 和 P₂ (x₂,y₂) 是非垂直直线 L 上的两个点。L的斜率为
$$m=\frac{升高}{行进的距离}=\frac{∆y}{∆x}=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}$$
当x增加时上升的直线具有正斜率；当x增加时下降的直线具有负斜率。水平线的斜率为零，因为其上的点具有相同的 y 坐标，使得 ∆y = 0.对垂直的直线，∆x = 0，从而 ∆y/∆x 是无意义的，我们说垂直直线没有斜率来表示这一事实。

1.3 平行线和垂直线

平行线与x轴的夹角相等（图a）。因此，非垂直的平行线具有相同的斜率。反之，具有相同斜率的直线与x轴的交角相等，所以是平行线。

如果两条非垂直直线 L₁ 和 L₂ 是相互垂直的，其斜率 m₁ 和 m₂ 满足m₁m₂ = -1，所以每个斜率是另一个斜率的负倒数：
$$m₁=-\frac{1}{m}₂,m₂=-\frac{1}{m}₁$$

1.4 直线的方程

如果我们知道直线的斜率m和直线上的一点P₁(x₁,y₁)，我们可以写出任何非垂直线的方程。因为如果P(x,y)是直线上任意一点，则
$$\frac{y-y₁}{x-x₁}=m$$
所以
$$y-y₁=m(x-x₁)或y=m(x-x₁)+y₁.$$
点 - 斜式方程

定义：方程
$$y=m(x-x₁)+y₁$$
是过点(x₁,y₁)，且斜率为m的直线的点 - 斜式方程

斜率 - 截距方程

非垂直直线和 y 轴的交点的 y 坐标是直线的 y - 截距。类似地，非水平直线和 x 轴的交点的 x 坐标是直线的 x - 截距。斜率为 m 而 y- 截距为 b 的直线过(0,b)，所以
$$y=m(x-0)+b,更简洁地，y=mx+b$$
定义：方程
$$y=mx+b$$
是斜率为m而 y - 截距为 b 的直线的 斜率 - 截距方程。

一般线性方程

如果 A、B都不全为零，则方程 Ax + By = C 的图形是一条直线。每条直线都有这种形式的方程，即使是一条具有不确定的斜率的直线。

定义：方程
$$Ax+By=C（A和B不全为0）$$
是 x，y 的一般线性方程。

二、函数和图形

函数是用数学术语来描述现实世界的主要工具。这里讨论函数的基本概念，它们的图形，位移或复合函数的方法，讲述出现在微积分中的若干重要的函数类。

2.1 映射

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种。

1、映射的概念

定义：设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对 X 中每个元素 x，按法则 f，在 Y中有唯一的元素 y 与之对应，那么称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作
$$f:X\to Y,$$
其中 y 称为元素 x （在映射 f 下）的像，并记作 f(x)，即
$$y=f(x),$$
而元素 x 称为元素 y（在映射 f 下）的一个原像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 D_f ，即 D_f = X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作 R_f 或 f(x)，即
$$R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}.$$
从上述映射的定义中，需要注意的是：

• 构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 X ，即定义域 D_f = X；集合 Y ，即值域的范围：R_f ⊂ Y；对应法则 f ，使对每个 x∈X，有唯一确定的 y = f(x) 与之对应。
• 对每个 x∈X ，元素 x 的像 y 是唯一的；而对每个 y ∈ R_f ，元素 y 的原像 x 不一定是唯一的；映射 f 的值域 R_f 是 Y 的一个子集，即 R_f ⊂ Y ，不一定 R_f = Y。

满射：设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射，若R_f = Y，即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射；

单射：若对 X 中任意两个不同元素 x₁ ≠ x₂，他们的像 f(x₁) ≠ f(x₂) ，则称 f 为 X 到 Y 的单射；

双射：若映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为 一 一 映射(双射)。

映射又称为算子。

在不同的数学分支中，映射有不同的惯用名。从非空集 X 到数集 Y 的映射又称为 X 上的泛函，从非空集 X 到它自身的映射又称为 X 上的变换，从实数集（或其子集）X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在 X 上的函数。

2.2 逆映射与复合映射

1、逆映射

设 f 是 X到 Y的单射，则由定义，对每个 y ∈ R_f ，有唯一的 x∈X，适合 f(x) = y。于是，我们可以定义一个从 R_f 到 X 的新映射 g ，即
$$g:R_f\to X,$$
对每个 y ∈ R_f，规定 g(y) = x，这个 x 满足 f(x) = y。这个映射 g 称为 f 的逆映射，记作 f^-1。其定义域 D_f^-1 = R_f，值域 R_f^-1 = X。

注意，只有单射才存在逆映射。

2、复合映射

设有两个映射
$$g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z,$$
其中 Y₁ ⊂ Y₂，则由映射 g 和 f 可以定义出一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x∈X 映射成 f[g(x)] ∈ Z。这个对应法则确定了一个从 X 到 Z的映射，这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射，记作 即

2.3 函数

从集合 D 到集合 R 的一个函数是对 D 中每个元素指定 R 中唯一元素的一种规则称为函数。

定义：设数集 D ⊂ R，则称映射 f : D → R 为定义在 D 上的 函数，通常简记为
$$y=f(x),x\in D,$$
其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 D_f，即 D_f = D。

如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不相同的。

函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定。另一种是抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。这种约定之下，一般用算式表达式的函数可用 y = f(x) 表达，而不必再表出 D_f 。

区间

区间的端点称为边界点，它们构成了区间的边界，其余的点都是内点，它们构成了区间的内部，包括所有边界点在内的区间是闭区间；不包含边界点的区间是开区间。开区间的每一点都是该区间的内点。

表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析式（公式法）。

取整函数

设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作[x]。这图形称为阶梯曲线，在 x 为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1，这函数称为取整函数。

分段函数

有时一个函数要用几个式子表示。这种自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数函数，通常称为分段函数。

2、函数的几种特性

（1）函数的有界性

设函数 f(x) 的定义域为 D，数集 X ⊂ D。如果存在数 K₁，使得
$$f(x)\le K₁$$
对任一 x∈X 都成立，那么称函数 f(x) 在 X 上有上界，而 K₁ 称为函数 f(x) 在 X 上的一个上界。如果存在数 K₂，使得
$$f(x)\ge K₂$$
对任一 x∈X 都成立，那么称函数 f(x) 在 X 上有下界，而 K₂ 称为函数 f(x) 在 X 上的一个下界。若函数 f(x) 在 X 既有上界,又有下界,则称该函数在 X 上有界。显然， y=f(x) 在 X 上有界的充分必要条件是存在常数 M>0，使得任一 x∈X，都有 |f(x)| ≤ M。

（2）单调性

设函数在 f(x) 的定义域为 X，区间 E⊆X，如果对于区间 E 上任一两点 x₁ 和 x₂ , 当x₁< x₂的时候，恒有 f(x₁) < f(x₂)，则称为函数f(x)在区间 E 上是单调增加的；

设函数在 f(x) 的定义域为 X，区间 E⊆X，如果对于区间 E 上任一两点 x₁ 和 x₂ , 当x₁< x₂的时候，恒有 f(x₁) > f(x₂)，则称为函数f(x)在区间 E 上是单调递减的；

（3）奇偶性

设函数 f(x) 的定义域 X 关于 y 轴对称，对于所有的 x∈X， 有 f(-x) = f(x), 则称f(x)为偶函数；

设函数 f(x) 的定义域 X 关于原点对称，对于所有的 x∈X， 有 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。

（4）周期性

设函数 f(x) 的定义域为 X，如果存在一个不为零的正数 t，使得对于任一 x∈D 有 (x±t)∈D，并且 f(x+t) = f(x) 恒成立，则称为 f(x) 为周期函数，t 称为 f(x) 的一个周期 ( f(x) 会有很多个周期，通常说周期函数的周期一般是指其最小正周期)。

2.4 反函数和复合函数

设函数 f : D → f(D) 是单射，则它存在逆映射 f^-1 ：f(D) → D，称此映射 f^-1 为函数 f 的反函数。

按此定义，对每个 y ∈ f(D)，有唯一的 x ∈ D，使得 f(x) = y。于是有
$$f^{-1}(y)=x.$$
这就是说，反函数 f^-1 的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的。

一般地，y = f(x)，x ∈ D 的反函数记成 y = f^-1(x)，x ∈ f(D)。

若 f 是定义在 D 上的 单调函数，则 f : D → f(D) 是单射，于是 f 的反函数 f^-1 必定存在。相对于反函数 y = f^-1(x) 来说，原来的函数 y = f(x) 称为直接函数。

设函数 y = f(u) 的定义域为 D_f ，函数 u = g(x) 的定义域为 D_g ，且其值域 R_g ⊂ D_f ,则由下式 确定的函数
$$y=f[g(x)],x\in D_g$$
称为由函数 u = g(x) 与函数 y = f(u) 构成的复合函数，它的定义域为 D_g ，变量 u 称为 中间变量。

函数 g 与函数 f 构成的复合函数，即按 “先 g 后 f ” 的次序复合的函数，通常记为 f ▫ g，即
$$(f▫g)(x)=f[g(x)].$$

2.5 函数的运算

设函数 f(x)，g(x) 的定义域依次为 D_f ，D_g，D = D_f ∩ D_g ≠ ∅，则我们可以定义这两个函数的下列运算：
$$\begin{gathered} 和(差)f\pm g:(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)，x\in D; \\ 积f\cdot g:(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D; \\ 商\frac{f}{g}=(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\{x|g(x)\ne 0,x\in D\}. \end{gathered}$$

2.6 初等函数

$$\begin{gathered} 幂函数：y=x^u(u\in R是常数)， \\ 指数函数：y=a^x(a>0且a\ne 1), \\ 对数函数：y=lo{g}_{a}x(a>0且a\ne 1,特别当a=e时，记为y=lnx)， \\ 三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等， \\ 反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等. \end{gathered}$$

以上这五类函数统称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

参考书籍：
《托马斯微积分》
《高等数学》（同济大学第七版）