背包学习————01背包

不多讲，dd大牛的背包九讲如此之经典我们只能慢慢体会了：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

状态转移方程：

1:f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]);

2:

for(i=0;i<N;i++)

{

   for(v=V;v>=c[i];v--)

   {

       f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]); 

   }

}

　自己的理解：　01背包的主要思想是对于这件物品做出选与不选的决定；将空间优化后V必须是逆序的，因为这样才能保证将当前的第i个物品放进去的时候，f[v]由前一状态的f[v],f[v-c[i]]+w[i]推得且前一状态必须保证从未出现过第i个物品的放于不放问题，因为每种物品只有一件。（完全背包就是顺序了因为每种物品是无限个的）

预处理：粘贴dd大牛的，

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

实现代码：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

View Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int max_s = 1007;
int v[max_s],w[max_s],f[max_s];
int main()
{
    int t,i,j,n,V;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        scanf("%d%d",&n,&V);
        for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);
        for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&v[i]);
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            for(j=V;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
        printf("%d\n",f[V]);
    }
    return 0;
}

http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=565

二维01背包记录选择的物品：

View Code

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#define maxn 22

#define N 10007

using namespace std;



int w[maxn];

int f[maxn][N];

int L,n;

int mk[maxn];//用来标记是否被选



void init()

{

    int i,j;

    for (i = 0; i < maxn; ++i)

    {

        mk[i] = 0;

        for (j = 0; j < N; ++j)

        f[i][j] = 0;

    }

}



int main()

{

    int i,j;

    //freopen("d.txt","r",stdin);

    while (~scanf("%d",&L))

    {

        scanf("%d",&n);

        for (i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d",&w[i]);



        init();

        for (i = 1; i <= n; ++i)

        {

            for (j = 1; j <= L; ++j)

            {

                if (w[i] <= j)

                {

                    if (f[i - 1][j - w[i]] + w[i] > f[i - 1][j])

                    f[i][j] = f[i - 1][j - w[i]] + w[i];

                    else

                    f[i][j] = f[i -1][j];

                }

                else f[i][j] = f[i - 1][j];

            }

        }

        int Max = 0,e;

        for (i = 1; i <= L; ++i)

        {

            if (Max < f[n][i])

            {

                Max = f[n][i];

                e = i;

            }

        }

        for (i = n; i >= 1; --i)

        {

            if (f[i][e] == f[i - 1][e - w[i]] + w[i])

            {

                e -= w[i];

                mk[i] = 1;

            }

            else mk[i] = 0;

        }

        for (i = 1; i <= n; ++i)

        if (mk[i]) printf("%d ",w[i]);

        printf("sum:%d\n",Max);

    }

    return 0;

}

 空间优化的记录物品选择开数组num[i][j]记录i状态是否选择j

View Code

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <stack>

#include <set>

#include <map>

#include <string>



#define CL(a,num) memset((a),(num),sizeof(a))

#define iabs(x)  ((x) > 0 ? (x) : -(x))

#define Min(a , b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

#define Max(a , b) ((a) > (b) ? (a) : (b))



#define ll __int64

#define inf 0x7f7f7f7f

#define MOD 100000007

#define lc l,m,rt<<1

#define rc m + 1,r,rt<<1|1

#define pi acos(-1.0)

#define test puts("<------------------->")

#define maxn 100007

#define M 10007

#define N 27

using namespace std;

//freopen("din.txt","r",stdin);



int f[M],num[M][N];

int w[N];



int main(){

   // freopen("din.txt","r",stdin);

    int V,n,i,j;

    while (~scanf("%d",&V)){

        scanf("%d",&n);

        for (i = 0; i < n; ++i) scanf("%d",&w[i]);

        CL(f,0); CL(num,0);

        for (i = 0; i < n; ++i){

            for (j = V; j >= w[i]; --j){

                f[j] = max(f[j],f[j - w[i]] + w[i]);

                if(f[j] != 0 && f[j] == f[j - w[i]] + w[i]){

                    for (int k = 0; k < n; ++k){

                        num[j][k] = num[j - w[i]][k];

                    }

                    num[j][i] = 1;

                }

            }

        }

        for (i = 0; i < n; ++i){

            if (num[V][i]) printf("%d ",w[i]);

        }

        printf("sum:%d\n",f[V]);

    }

    return 0;

}