数学建模——有向图和无向图
有向图和无向图
本讲将简要介绍图论中的基本概念，并主要讲解图论中的最短路径问题。根据图的不同，我们将学习两种不同的算法：迪杰斯特拉Diijkstta算法和Bellman-Ford（贝尔曼-福特）算法。
图论中的图（Graph)是由若干给定的点及连接两点的线构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物具有这种关系。
一个图可以用数学语言描述为G(V(G),E(G))。V表示的是图的顶点集，E指的是图的边集。
根据边是否有方向，可将图分为有向图和无向图。
另外，有些图的边上还可能有权值，这样的图成为有权图。
画图工具：
https://csacademy.com/app/graph_editor/
这个网站进入时有点慢但是好玩的一批！
matlab做图
① 无向图：
函数graph(s,t)，可在s和t中的对应节点之间创建边，并生成一个图。
s和t都必须具有相同的元素数，这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞组。
点的编号最好从1开始连续编号，否则容易出现孤立点。
s1 = [1,2,3,4];
t1 = [2,3,1,1];
G1 = graph(s1, t1);
plot(G1)
元胞数组的无向图
注意字符串元胞数组都是用大括号包起来的哦
s2 = {'学校','电影院','网吧','酒店'};
t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};
G2 = graph(s2, t2);
plot(G2, 'linewidth', 2) % 设置线的宽度
% 下面的命令是在画图后不显示坐标
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
matlab做的图还是有一些模糊，如果节点数不是特别多的话还是建议使用线上作图的方式。
无向图的权重邻接矩阵
无向图对应的权重邻接矩阵：
D i j = [ 0 i n f 3 3 i n f 0 i n f 5 3 i n f 0 2 3 5 2 0 ] D_{ij} = \begin{bmatrix} 0& inf &3&3\\ inf& 0 &inf&5\\ 3& inf &0&2\\ 3& 5 &2&0\\ \end{bmatrix} Dij=⎣ ⎡0inf33inf0inf53inf023520⎦ ⎤
邻接矩阵表示从i到j的权重
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | inf | 3 | 3 |
| 2 | inf | 0 | inf | 5 |
| 3 | 3 | inf | 0 | 2 |
| 4 | 3 | 5 | 2 | 0 |
结论：
①无向图对应的权重邻接矩阵 D i j D_{ij} Dij是一个对称矩阵；
②其主对角线上元素为0；
③ D i j D_{ij} Dij表示第 i i i 个节点到第 j j j个节点的权重；
有向图的权重邻接矩阵
有向图对应的权重邻接矩阵：
D i j = [ 0 i n f 8 3 i n f 0 i n f 5 8 i n f 0 2 i n f i n f i n f 0 ] D_{ij} = \begin{bmatrix} 0& inf &8&3\\ inf& 0 &inf&5\\ 8& inf &0&2\\ inf& inf &inf&0\\ \end{bmatrix} Dij=⎣ ⎡0inf8infinf0infinf8inf0inf3520⎦ ⎤
邻接矩阵表示从i到j的权重
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | inf | 8 | 3 |
| 2 | inf | 0 | inf | 5 |
| 3 | 8 | inf | 0 | 2 |
| 3 | inf | inf | inf | 0 |
结论：
①有向图对应的权重邻接矩阵 D i j D_{ij} Dij一般不是对称矩阵；
②其主对角线上的元素为0；
③ D i j D_{ij} Dij表示第 i i i个节点到第 j j j个节点的权重；