微分方程Gear方法MATLAB,matlab求解常微分方程（组）
本文主要介绍matlab中求解常微分方程 组 的dsolve和ode系列函数 并通过例子加深读者的理解。
一、符号介绍
D: 微分符号 D2表示二阶微分 D3表示三阶微分 以此类推。
二、函数功能介绍及例程
1、dsolve 函数
dsolve函数用于求常微分方程组的精确解 也称为常微分方程的符号解。如果没有初始条件或边界条件 则求出通解 如果有 则求出特解。
1)函数格式
Y dsolve(‘eq1,eq2,…’ , ’cond1,cond2,…’ , ’Name’)
其中 ‘eq1,eq2,…’:表示微分方程或微分方程组;
’cond1,cond2,…’:表示初始条件或边界条件;
‘Name’:表示变量。没有指定变量时 matlab默认的变量为t
2)例程
例1.1(dsolve 求解微分方程)
求解微分方程
在命令行输入: dsolve( Dy 3*x^2 , x ) ,摁下enter键后输出运行结果。
例1.2 加上初始条件
求解微分方程
只需要在命令行添加初始条件即可 此时求出的即为方程的特解。可以看到上例中的C9变为了2。
例2(dsolve 求解微分方程组)
求解微分方程组
由于x,y均为t的导数 所以不需要在末尾添加’t’。
2、ode函数
在上文中我们介绍了dsolve函数。但有大量的常微分方程 虽然从理论上讲 其解是存在的 但我们却无法求出其解析解 此时 我们需要寻求方程的数值解。
怎么理解数值求解呢 数值分析是一门专门的学科 在此不过多介绍。我主要想通过一个简单的例子来向大家阐述数值求解的思想。
比如 求解微分方程
。我们就可以转化为
那么
。因此 我们可以通过迭代的方式来求解y。
即可理解为步长
ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长 variable-step 和定步长 fixed-step 两种类型。不同类型有着不同的求解器 具体说明如下图。
非刚性ode求解命令
求解器solver
功能
说明
ode45
一步算法 4、5阶龙格库塔方程 累计截断误差(Δx)^5
大部分尝试的首选算法
ode23
一步算法 2、3阶龙格库塔方程 累计截断误差(Δx)^3
适用于精度较低的情形
ode113
多步算法 Adams
计算时间比ode45短
刚性ode求解命令
ode23t
梯形算法
适度刚性情形
ode15s
多步法 Gear’s反向数值微分 精度中等
若ode45失效时 可以尝试使用
ode23s
一步法 2阶Rosebrock算法 精度低
当精度较低时 计算时间比ode15s短
ode23tb
梯形算法 精度低
当精度较低时 计算时间比ode15s短
其中 ode45求解器属于变步长的一种 采用Runge-Kutta算法 其他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法 它用4阶方法提供候选解 5阶方法控制误差 是一种自适应步长 变步长 的常微分方程数值解法 其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。
ode45是解决数值解问题的首选方法 若长时间没结果 应该就是刚性的 可换用ode15s试试。
下面将以ode45为例具体介绍函数的使用方法。
1)函数格式
[T,Y] ode45(‘odefun’,tspan,y0)
[T,Y] ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)
[T,Y,TE,YE,IE] ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)
sol ode45(‘odefun’,[t0 tf],y0...)
其中: odefun是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名
tspan 是求解区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]
y0 是初始值向量
T 返回列向量的时间点
Y 返回对应T的求解列向量
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
TE 事件发生时间
YE 事件发生时之答案
IE 事件函数消失时之指针i
2)微分方程标准化
利用ode45求解高阶微分方程时 需要做变量替换。下面说明替换的基本思路。
微分方程为
初始条件
首先做变量替换
原微分方程可以转换为下面的微分方程组的格式:
下面就可以利用转换好的微分方程组来编写odefun函数。
3 例程
例3.1 编写odefun函数
在matlab中新建脚本文件 编写函数如下
本例中只需在例3.1的基础上编写主函数 加上求解区间和边值条件即可。需要注意的是 ode45的运行结果以列向量形式给出。因此在本例中 x的第一列为y 第二列为y’。如果遇到变量不是列向量形式的 可以考虑利用reshape函数做矩阵变换。
则 plot(t,x(:,1))画出来的是x的第一列数据 即为y
plot(t,x(:,2))画出来的是x的第二列数据 即为y’
三、总结
在使用matlab中 如遇到命令格式记不清楚等情况 建议直接在命令行输入指令’help 函数名称’ 如 在matlab命令窗口输入help dsolve后 显示如下
参考
1、https://jingyan.baidu.com/article/e52e36154448e940c60c51aa.html
matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)
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matlab使用笔记(一)——matlab语言中if、for语句与C语言中的差别
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责任编辑：xiaochao