高等数学笔记-苏德矿-第十一章-级数(Ⅰ)-数项级数

高等数学笔记-苏德矿

第十一章 级数(Ⅰ)-数项级数

第一节 级数的概念和性质

一、级数的概念

01 无穷级数

设 $u_1,u_2,\dots ,u_n,\dots$​​ 是一个数列，则和 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$​​​ 称为数项级数或无穷级数 ( 简称级数 ) 。

02 项与通项

和式中的每一项称为级数的项，$u_n$​ 称为级数的通项（或一般项）.

03 前$n$​项部分和

而其中，$S_n=\sum _{n=1}^n{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$​ 称为级数的前$n$​项部分和.

04 级数收敛

若存在 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，且收敛于 $S$.

05 级数发散

若存在 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$​​ 不存在，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​ 发散​.​

06 级数的和与余和

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛于 $S$，则称 $S$ 为级数的和，记为 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=S$​；

称 $r_n=\sum _{k-n+1}^{\infty }{u}_k=S-S_n$ 为级数的余和，且显然有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n=0$.

二、两个重要的级数

01 $p-$级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$

$$\begin{array}{rl}& 讨论:p-级数\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}的敛散性\\ & (1)p=1,则原级数=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}。\\ & 设f(x)=\frac{1}{x},显然f(x)在[n,n+1]上递减(n\in N),\\ & 且n⩽x⩽n+1,则\frac{1}{n+1}⩽\frac{1}{x}⩽\frac{1}{n},\\ & 则\frac{1}{n+1}={\int }_n^{n+1}\frac{1}{n+1}dx⩽{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x}dx⩽{\int }_n^{n+1}\frac{1}{n}dx=\frac{1}{n},\\ & 因此1⩾{\int }_1^2\frac{1}{x}dx,\frac{1}{2}⩾{\int }_2^3\frac{1}{x}dx,\frac{1}{3}⩾{\int }_3^4\frac{1}{x}dx,\cdots ,\frac{1}{n-1}⩾{\int }_{n-1}^n\frac{1}{x}dx,\frac{1}{n}⩾{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x}dx,\\ & 所以S_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}⩾\\ & {\int }_1^2\frac{1}{x}dx+{\int }_2^3\frac{1}{x}dx+{\int }_3^4\frac{1}{x}dx+\cdots +{\int }_{n-1}^n\frac{1}{x}dx+{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x}dx=\\ & \\ & {\int }_1^{n+1}\frac{1}{x}dx={\ln x|}_1^{n+1}=\ln (n+1)\\ & \\ & 所以\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n⩾\underset{n\to \infty }{\lim }\ln (n+1),显然\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n\to +\infty ,级数发散。\\ & 另外,级数\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}发散，该级数称为调和级数\\ & (2)p\ne 1,则原级数=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots +\frac{1}{(n-1{)}^p}+\frac{1}{n^p}。\\ & ①p<1,有n^p<n\Rightarrow \frac{1}{n^p}>\frac{1}{n},则S_n=\sum _{n=1}^n\frac{1}{n^p}>\sum _{n=1}^n\frac{1}{n}(调和级数)\\ & 由正项级数的比较判别法可知，级数发散。\\ & ②p>1,设f(x)=\frac{1}{x^p},显然f(x)在[n,n+1]上递减(n\in N),\\ & 且n^p⩽x^p⩽(n+1{)}^p,则\frac{1}{(n+1{)}^p}⩽\frac{1}{x}⩽\frac{1}{n^p},\\ & 则S_n=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots +\frac{1}{(n-1{)}^p}+\frac{1}{n^p}(S_n显然是递增数列)\\ & ⩽1+{\int }_1^2\frac{1}{x^p}dx+{\int }_2^3\frac{1}{x^p}dx+\cdots +{\int }_{n-1}^n\frac{1}{x^p}dx+{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x^p}dx=\\ & (其中，\frac{1}{1^p}⩽{\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx为第二p广义积分且发散，故1项不进行放缩)\\ & <1+{\int }_1^2\frac{1}{x^p}dx+{\int }_2^3\frac{1}{x^p}dx+\cdots +{\int }_{n-1}^n\frac{1}{x^p}dx+{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x^p}dx+{\int }_{n+1}^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx=\\ & 1+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx(其中，{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx为第一p广义积分且收敛)\\ & 所以\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n有上界,级数收敛。\\ & 综上,对于p-级数\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p},p>1时收敛,p⩽1时发散。\end{array}$$

02 几何级数 (等比级数) $\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}$

$$\begin{array}{rl}& 讨论:几何级数\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}的敛散性\\ & (1)|q|\ne 1,则XXXXXXX。\\ & ①|q|<1,则S_n=\sum _{n=1}^{n}a{q}^{n-1}=\frac{首项(1-公{比}^{项数})}{1-公比}=\frac{a(1-|q{|}^n)}{1-|q|}=\frac{a}{1-|q|},级数收敛。\\ & ②|q|>1,则S_n=\sum _{n=1}^{n}a{q}^{n-1}=\frac{首项(1-公{比}^{项数})}{1-公比}=\frac{a(1-|q{|}^n)}{1-|q|}\to -\infty ,级数发散。\\ & (2)|q|=1,\\ & ①q=1,则\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}=na,级数发散。\\ & ②q=-1,则\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}=\{\begin{array}{l}0n=2m\\ an=2m+1\end{array},级数发散。\\ & 综上,对于几何级数\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1},|q|<1时收敛,|q|⩾1时发散。\end{array}$$

三、级数收敛的必要条件

• 必要条件

  若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$（一般项是无穷小）

• 必要条件的逆否命题

  若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\ne 0$，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散。

• 注意

  • $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\ne 0$​ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=\infty \text{(不存在)}$ $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 发散
  • $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=0$ 不一定导出 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛

四、级数的基本性质

• 性质1（线性性质）

  若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​​ 收敛到 $S$​​​，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$​​​ 收敛到 $T$​​​ ，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\alpha u_n\pm \beta v_n\right)$​​​ 收敛到 $\alpha S+\beta T$。

• 性质2（有限敛散不变性）

  将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的敛散性。

  级数的敛散性只关注靠后的无穷多项。

• 性质3（合并敛散不变性）

  表述1：若级数收敛于和 $S$，则将相邻若干项相加作一项而组成的新级数仍然收敛于 $S$。

  表述2：若级数收敛于和 $S$，则在该级数中任意添加括号得到的新级数也收敛，且仍然收敛于 $S$。

  一般级数反之不成立 $\Rightarrow$ 反例： $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n$ 。正向级数反之亦成立。

• 性质4（收敛的必要条件）

  若级数收敛，则级数一般项的极限趋于零。反之不成立。

  反例：调和级数。

第二节 正项级数的敛散性

一、正项级数的概念

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 满足 $u_n⩾0$​，则称之为正项级数。

显然正项级数的部分和 $S_n$ 单调增加，因此有如下定理：

正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛 $ \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } $ 部分和 $S_n$ 有上界。

二、正项级数敛散性判别法

01 比较判别法

$$\begin{array}{rl}& 若级数\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n与\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n均为正项级数,且u_n⩽v_n,则有\\ & \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{收敛}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛.}\\ & \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{发散.}\end{array}$$

02 比阶判别法

比较判别法的极限形式
$$\begin{array}{rl}& 若级数\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n与\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n均为正项级数,且\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l,则有\\ & \text{当}0<l<+\infty \text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{与}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{同敛散。}\\ & \text{当}l=0\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{收敛}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛。}\\ & \text{当}l=+\infty \text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{发散}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散。}\end{array}$$

03 比值判别法

达朗贝尔判别法
$$\begin{array}{rl}& 若正项级数\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n满足\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=l,则有\\ & \text{当}0⩽l<1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛.}\\ & \text{当}l>1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散.}\\ & \text{当}l=1\text{时，}无法判断。\end{array}$$

若 $u_{n+1}$ 与 $u_n$ 有公因式，尝试比值判别法。

04 根植判别法

柯西判别法
$$\begin{array}{rl}& 若正项级数\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n满足\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=l,则有\\ & \text{当}0⩽l<1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛.}\\ & \text{当}l>1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散.}\\ & \text{当}l=1\text{时，}无法判断。\end{array}$$

05 积分判别法

$$\begin{array}{rl}& 若非负函数f(x)在(a,+\infty )时单调减少，级数\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n的通项u_n=f(n)，\\ & 则级数\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n与积分{\int }_a^{+\infty }f(x)dx有相同的敛散性。\end{array}$$

06 判别法小结

• 比值和根值判别法实际上可看作是在将级数与等比级数作比较，当所求极限存在时，可称级数是拟等比级数。
• 比较判别法是将一般性$u_n,v_n$ 作无穷小比较。通常我们取 $v_n$ 为 $\frac{1}{n^p}$，因此这时实际上我们在分析无穷小的阶。
• 判断正项级数收敛的方法：
  • ① 前 $n$ 项和有上界
  • ② 判别法；③ 比阶判别法
  • ④ 比值判别法；⑤ 根植判别法
  • ⑥ 级数收敛必要条件逆否命题
  • ⑦ 线性运算法则；⑧ 定义
• 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与级数 $\sum _{n=1}^{\infty }l\cdot u_n(l\ne 0)$ 同敛散。
• 当 $u_n⩽0$ 时，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 为负项级数，转换为研究正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-u_n)$ 。

第三节 任意项级数的收敛性

一、交错级数收敛性的判别

01 交错级数的概念

各项正负相间的级数称为交错级数，其形式为 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$​​​ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$​​​ （其中 $u_n>0$​​​​）.

02 莱布尼兹判别法

若交错级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ （其中 $u_n>0$）满足 $\{\begin{array}{l}{u}_n⩾u_{n+1}\\ \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0\end{array}$ ，

则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$​​ 收敛，且其余和的绝对值小于 $u_{n+1}$​，即 $\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }{u}_k\right|<u_{n+1}$​ .​​

二、绝对收敛与条件收敛

01 绝对收敛

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|u_n\right|$ 收敛，则称 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 绝对收敛。

02 条件收敛

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|u_n\right|$ 发散，而级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 条件收敛。

03 关于绝对收敛的命题

• 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|u_n\right|$ 收敛，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​ 收敛。
• 若级数绝对收敛，则级数收敛。

三、绝对值下的判别法推广

01 绝对值的比值判别法

$$\begin{array}{rl}& 若一般级数\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n满足\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=l,则有\\ & \text{当}0⩽l<1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛}\\ & \text{当}l>1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散}(\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\infty \ne 0)\\ & \text{当}l=1\text{时，}无法判断\end{array}$$

02 绝对值的根植判别法

$$\begin{array}{rl}& 若一般级数\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n满足\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n|}=l,则有\\ & \text{当}0⩽l<1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛}\\ & \text{当}l>1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散}(\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\infty \ne 0)\\ & \text{当}l=1\text{时，}无法判断\end{array}$$

四、判断一般级数敛散性的方法

• 绝对值比值判别法
• 绝对值根植判别法
• 绝对收敛判别法
• 莱布尼兹判别法
• 级数收敛必要条件逆否命题
• 线性运算法则
• 根据级数的定义