高数第十二章 级数12.1 常数项级数

级数的分类

一、
1、常数项级数
2、幂级数
3、傅里叶级数

二、
数项级数
函数项级数

级数收敛

数项级数

给定一个数列 ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 “a1+a2+…+an ” 称为数项级数，或称为无穷级数，也可以简称为级数，记为 ∑an

数项级数收敛的充要条件：
部分和数列的极限收敛于S

函数项级数

设有一函数序列
u1(x) , u2(x) … un(x)，
若 ui(x) (i=1,2…n) 在I上有定义
则称∑ui(x)=u1(x) + u2(x) + … + un(x) (i=1,2…∞)为函数项级数

对于任意 x0∈I，有∑ui(x0) 可表示为一个常数项函数
若取x=x0时，∑ui(x0)收敛，则称x0为函数项级数的一个收敛点，若发散，则称为发散点

所有发散点的集合称为该级数的发散域，收敛的集合称为收敛域

常数项级数

什么叫做常数项？
不含字母的就叫做常数项
定义：给定一个数列 a1,a2,a3…an
s=a1+a2+…+an (n->∞)称为常数项级数
Note：常数项级数是数项级数

性质

1、收敛的级数 每一项乘以常数k，依然收敛
收敛级数 Sn=a1+...+an 
则 kSn=k·a1+...+k·an 收敛

2、收敛级数增加、减少、改变有限项，级数仍然收敛
Note：虽然不改变敛散性，但是可能会改变数值

3、级数Sn=a1+...+an 收敛，Kn=b1+...+bn收敛
则 Sn+Kn=a1+b1+...+an+bn;依然收敛
Note：收敛+发散—发散；发散加发散—不一定发散
例如：(-1)^n -(-1)^n 

4、级数收敛的必要条件 an=0（n->∞）
Note：若an≠0（n->∞）级数一定发散  
若an=0（n->∞） 级数不一定收敛

5、一个级数收敛，添加任意多括号后一定收敛；
一个级数添加任意多括号后收敛，原级数不一定收敛（括号提高收敛性）

两个重要级数

一、p级数
形如：1/(n^p)

当p≤1时，级数发散
当p＞1，级数收敛
特别的，当p=1时，称为调和级数

二、几何级数
形如：an=a·(q^n) (a≠0)

当q≥1时，发散
当q＜1，收敛，收敛于  “首项/(1-公比)”

正向级数

任意 an >=0

正向级数收敛的充要条件：
lim an=0 （n->∞)  且 部分和数列有界 即：lim Sn= S (n->∞)
等价于 ∑a2n收敛 且 ∑a(2n-1)收敛  (n-<∞)

正项级数审敛法

一、比较法

基本形式:

Sn=a1+..+an;收敛
若Kn=b1+..+bn;
且an>=bn 则Kn收敛

反之：
若Kn 发散
且an≥bn 则Sn发散

极限形式：

Sn=∑an 收敛
Kn=∑bn
若 lim an/bn=l (0∞);则Kn与Sn敛散性相同

推广

若 lim an/bn=0  (n->∞) bn收敛 则an收敛
若 lim an/bn=∞  (n->∞) bn发散 则an发散

二、比值法

设 lim a(n+1)/an = ρ (n->∞) 
若 ρ > 1 则发散；
若 ρ < 1 则收敛；
Note: ρ=1 无法判断

三、根值法

设 lim √an= ρ (n->∞) 
若 ρ > 1 则发散；
若 ρ < 1 则收敛；
Note: ρ=1 无法判断

四、积分审敛法

若{an}递减，则令f(n)=an;
∫f(x)dx (1->∞) 与an {an}敛散性相同

Noet:
1、先判断是否满足级数收敛的必要条件，若不满足则发散
2、若级数一般项可以表示为数列相邻两项之差，使用定义判断敛散性
3、给出一个不够具体的正项级数，则使用级数的性质以及正向级数审敛法判断
4、给出一个具体的正项级数，使用审敛法来判断，有阶乘的使用比值审敛法，
有n次方的用根植审敛法，有对数的使用积分审敛法，其余使用比较审敛法

交错级数

形如Sn=∑(-1)^n· an （an>0)

莱布尼茨审敛法

若:
 ①an>0  
 ②{an} 递减
 ③lim an = 0 (n->∞) 

则 Sn 收敛

Note:
② 是充分条件，而非必要

绝对收敛与条件收敛

Sn=a1+…+an 收敛
若有S’ n = |a1|+…+|an| 收敛 则称 Sn绝对收敛
否则 称Sn 条件收敛

Note： 加绝对值号会提高发散性；
若Sn是正向级数且收敛，其绝对收敛

绝对收敛与条件收敛的关系：
若{an}绝对收敛，则 ∑an 收敛 反之不对；
若 ∑an发散， 则 ∑|an| 一定发散；

常数项级数审敛法

一、
1、先判断是否满足级数收敛的必要条件，若不满足则发散

二、先判断是否为正项级数，若是
1、若级数一般项可以表示为数列相邻两项之差，使用定义判断敛散性
2、给出一个不够具体的正项级数，则用级数的性质以及正向级数审敛法判断
3、给出一个具体的正项级数，使用审敛法来判断，有阶乘的使用比值审敛法，
有n次方的用根植审敛法，有对数的使用积分审敛法，其余使用比较审敛法

三、若不是正向级数，判断是否为交错级数，若是，使用莱布尼茨审敛法

四、其他的常数项级数用绝对收敛和条件收敛判断敛散性

Note：
若 ∑an 收敛 ，则∑|an|、∑(an)^2 、∑an·a(n+1)、∑(-1)^n·an 、∑an·[(-1)^n]/n ·不一定收敛