极大似然估计、softmax函数与交叉熵损失函数三者的关系

介绍

Logistic的基本形式：

需要明确的概念：

• 逻辑回归解决的不是回归的问题，而是分类的问题
• 逻辑回归是线性模型，其中sigmoid函数只是非线性激活函数

极大似然视角下的Logistic

极大似然与伯努利分布

假设 x,y∼B(±1,p)x,y∼B(±1,p)

考虑一个二分类问题：f(x)→{+1,−1}f(x)→{+1,−1} ：

其极大化条件似然估计：

转化成负对数似然损失函数：

Loss(w)=1N∑i=1Nln(1+exp(−yif(xi,w)))（损失函数A）Loss(w)=1N∑i=1Nln(1+exp(−yif(xi,w)))（损失函数A）

需要明确的概念 ：

• 与逻辑回归对应的是伯努利分布，而不是二项分布（重复N次(N>1)伯努利分布实验）
• 逻辑回归中，模型的二值输出服从伯努利分布，而输入数据不服从伯努利分布，输入数据服从等方差高斯分布
• 模型的输出中，线性内积 WTxWTx 所得结果是连续型随机变量，不服从伯努利分布，而经过非线性变换和二值化之后的输出才服从伯努利分布

形式化损失函数视角下的Logistic

​ 注：红线是logistic回归损失函数，绿虚线是SVM损失函数

MarginCost:minJ(w)=1n∑i=1nH(yif(xi,w)),whereH(t)=ln(1+exp(−t))MarginCost:minJ(w)=1n∑i=1nH(yif(xi,w)),whereH(t)=ln(1+exp(−t))

熵的视角下的Logistic

交叉熵函数：

L(y|x)=∑−P(yi)lnP(f(xi=yi))L(y|x)=∑−P(yi)lnP(f(xi=yi))

相关熵与逻辑回归：

假设 x,y∼B(0,1|p)x,y∼B(0,1|p)

考虑一个二分类问题 f(x)→{0,1},f(x)→{0,1}, (与极大似然视角下的+1，-1不同)

似然：∏Ni=1P(y|xi,w)=∏Ni=1P(1|xi,w)yiP(0|xi,w)1−yi∏i=1NP(y|xi,w)=∏i=1NP(1|xi,w)yiP(0|xi,w)1−yi

交叉熵损失函数（cross-entropy）：

E(w)=−1Nln(∏i=1NP(y|xi,w))=−1N∑i=1N[yiln(P(1|xi,w))+(1−yi)ln(P(0|xi,w))]（损失函数B）E(w)=−1Nln(∏i=1NP(y|xi,w))=−1N∑i=1N[yiln(P(1|xi,w))+(1−yi)ln(P(0|xi,w))]（损失函数B）

负对数似然损失函数 VS. 交叉熵损失函数

因为极大似然视角下的二分类标签为y∗y∗（1，0），这导致其最终的损失函数（损失函数A和损失函数B）的形式不一样，但其最优解是一样的。下面介绍单个实例下两个损失函数如何转换：

1. 令 y∗=2y−1y∗=2y−1

那么：

所以这两个损失函数是可以相互转化的，只不过对了一个常系数项2，不影响变量的最优解，具体可参考：
https://www.zhihu.com/question/38777817/answer/78140608

Logistic求解

基本问题：无约束凸优化问题

MarginCost:MarginCost:

可用的优化方法：

• 一阶梯度法（梯度下降及其变种）
• 二阶梯度法（牛顿法及其变种）

为什么用softmax作为激活函数?

如果logistic回归最后只是需要一个非线性激活函数将线性内积输出 WTxWTx 范围内，那么可不可以不用softmax？（一般不, 考虑到概率机器学习观点）

因为sigmoid刚刚好可以表示为等方差高斯分布下的后验概率

References:

1. 集智公开课
2. 知乎