gym 102956补题

gym 102956

链接：2020-2021 Winter Petrozavodsk Camp, Belarusian SU Contest (XXI Open Cup, Grand Prix of Belarus)

D - Bank Security Unification

题意

有 $n$ 个路由器，第 $i$ 个路由器的的频度是 $f_i$ ，假设有 $k$ 个路由器 $i_1,i_2,\dots ,i_k$ 开着，那么此时的网络安全系数的值是 ${\sum }_{j=1}^k{a}_{i_j}$ 。问网络安全系数的最大值是？

思路

背包dp，$d{p}_{i,j}$表示处理到 $i$ ，打开 $j$ 个的最大安全系数。

处理到 $f_i$ 时的转移方程式：
$$d{p}_{i,j}=max(d{p}_{i-1,j},d{p}_{pre,j-1}+f_{pre}\&f_i)$$
这里的 $pre$ 表示上一个被选中的数。但是数据范围 $1e6$ ，所以改成滚动数组减少一维。

最终的转移方程：（$pre$ 的可能值可以通过对 $a_i$ 逐位运算进行枚举，这个在代码中有所体现）
$$d{p}_i=max(d{p}_i,d{p}_{pre}+f_{pre}\&f_i)$$

代码

#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
using namespace std;
typedef pair<int, int> P;
typedef long long ll;
const int N = 2e6 + 9;
const ll MOD = 1e9 + 7;

ll dp[N];
ll a[N];
ll pre[N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", a + i);
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= 50; j++)
        {
            if(a[i] & (1ll << j))
            {
                dp[i] = max(dp[i], dp[pre[j]] + (a[pre[j]] & a[i]));
                pre[j] = i;
            }
        }
        ans = max(ans, dp[i]);
        dp[i] = ans;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

I - Binary Supersonic Utahraptors

题意

A有 $n$ 个牌， B有 $m$ 个牌，其中一些是红的一些是黄的。进行 $k$ 次交换，第 $i$ 次A给B $s_i$ 张牌，B再在当前的所有牌中给A $s_i$ 张牌。最终得分为A的黄牌数-B的红牌数的绝对值，A要使之尽可能大，B要使之尽可能小。问最终得分？

思路

就是A的|初始黄牌数-B的初始红牌数|，可以证明之后其实怎么改都是不会改变这两者差的绝对值。

代码

#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
using namespace std;
typedef pair<int, int> P;
typedef long long ll;
const int N = 2e6 + 9;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n, m, k;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    int ans = 0;
    for(int i = 0, tmp; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &tmp);
        if(tmp == 0)
            ans++;
    }
    for(int i = 0, tmp; i < m; i++)
    {
        scanf("%d", &tmp);
        if(tmp)
            ans--;
    }
    printf("%d\n", abs(ans));
    return 0;
}

M - Brilliant Sequence of Umbrellas

题意

给定数字 $n$ ，要求你构造长度 $k\ge \lceil \frac{2}{3}\cdot n\rceil$ 的序列 $a$ ，使之满足以下条件：

1. $a_i>a_{i-1}$；
2. $gcd(a_i,a_{i+1})>gcd(a_i-1,a_i)$。

思路

设 $g_i=gcd(a_i,a_{i+1})$ ，我们又要使 $a_i$ 的值尽可能小这样才能增加长度，所以必然有 $g_i\ast g_{i+1}=a_{i+1}$。由此我们得到：
$$\begin{gathered} gcd(a_i,a_{i+1})=g_i \\ {a}_i=g_{i-1}\ast g_i \\ {a}_{i+1}=g_i\ast g_{i+1} \end{gathered}$$
显然，$g_{i-1}$ 和 $g_{i+1}$ 要互质。根据这个性质去构造即可。

代码

#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
using namespace std;
typedef pair<int, int> P;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 9;
const ll MOD = 1e9 + 7;

ll gcd[N];

int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld", &n);
    gcd[0] = 1;
    gcd[1] = 2;
    gcd[2] = 3;
    int kmin = 2.0 / 3.0 * sqrt((double)n) + 1;
    for(int k = 3; k < kmin; k++)
    {
        ll x = gcd[k - 1] + 1;
        while(__gcd(gcd[k - 2], x) != 1)
        {
            x++;
        }
        gcd[k] = x;
    }
    printf("%d\n1", kmin);
    for(int i = 0; i < kmin - 1; i++)
    {
        printf(" %lld", gcd[i] * gcd[i + 1]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}