向量的点乘和叉乘区别及几何意义

向量点乘和叉乘的区别：向量点乘结果是标量，是两个向量在一个方向的累计结果，结果只保留大小属性，抹去方向属性，就相等于降维；向量叉乘，是这这两个向量平面上，垂直生成新的向量，大小是两个向量构成四边形的面积。相等于生维。这是运算所需要，向量加和减都是在同一纬空间操作的，如果要想实现维度的变化就要在向量的乘法做出定义。

向量点乘（内积）：

点乘（Dot Product）的结果是点积，又称数量积或标量积（Scalar Product）,结果就是个数，把方向给抹去了。向量是有两个属性的：大小和方向，点乘的结果就是得到一个标量。相等于降维了。

定义为：对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积。

从这个结果来看，就知道没有方向属性，只是数字之间的运行，最终结果也是数字。

从几何角度看，点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。点乘的结果表示向量A在向量B方向上的投影与向量B模的的乘积，点乘的意义就是两个向量在一个向量方向的共同积累的结果，但是这种结果只保留的大小属性，抹去了方向这个属性；同时反映了两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系为：

.则方向基本相同，夹角在0°到90°之间

.则正交，相互垂直

.则方向基本相反，夹角在90°到180°之间

我们最常见的例子就是就是力对物体做功。如图所示，一个力F施加于木块上，使得它沿着水平桌面向前移动s的距离，那么求F的功。根据功的定义，功是力与物体在力的方向上的位移的乘积。这个说明什么，说明了功是力对物体在空间上的积累的物理量。那么根据这个定义就有两种分解方法如图所示。

向量叉乘：（外积）

叉乘（Cross Product）又称向量积（Vector Product）。

定义为

从结果我们看出还保留向量的基本单位i，j,k;所以结果也是一个向量，既有大小，又有方向，只是这个方向人为定义出来，垂直于这两个向量构成的平面，符合右手定则。

几何意义：

以向量a和向量b构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。

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