概率论复习笔记二——离散型分布和连续型分布

一、离散型分布

1.1 伯努利分布

在一次试验中，事件$A$出现的概率为$p$，不出现的概率为$q=1-p$，若以$\beta$记事件$A$出现的次数，则$\beta$取$0,1$两值，相应的概率分布为$$b_k=P\{\beta =k\}=p^k{q}^{1-k},k=0,1\text{\hspace{1em}(1)}$$
这个分布称为伯努利分布，亦称为两点分布。

1.2 二项分布

在$n$重伯努利试验中，若以$\mu$记作成功的次数，则它是一个随机变量，$\mu$可能取的值为$0,1,2\cdots ,n$，其对应的概率分布为$$b(k;n,p)=P\{\mu =k\}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k},k=0,1,2\cdots ,n\text{\hspace{1em}(2)}$$
简记为$\mu \sim B(n,p)$

1.3泊松分布

若随机变量$\xi$可取一切非负整数值，且$$p\{\xi =k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2\cdots \text{\hspace{1em}(3)}$$
其中，$\lambda >0$，则称$\xi$服从泊松分布，简记为$\xi \sim P(\lambda )$

1.4 几何分布

在成功概率为$p$的伯努利试验中，若以$\eta$记成功首次出现时的试验次数，则$\eta$为随机变量，它可能取的值为$1,2,3\cdots$，其概率分布为$$g(k,p)=P\{\eta =k\}=q^{k-1}p,k=1,2,\cdots \text{\hspace{1em}(4)}$$
简记为$\eta \sim g(k,p)$

几何分布有一个重要的性质——无记忆性：
假定已知在前$m$次试验中没有出现成功，那么为了达到首次成功还需要再等待的次数为${\eta }^{{}^{\prime }}$，其概率分布为$P\{{\eta }^{{}^{\prime }}=k\}=P\{\eta =m+k|\eta >m\}=\frac{P\{\eta =m+k\}}{P\{\eta >m\}}=\frac{q^{m+k-1}p}{q^m}=q^{k-1}p,k=1,2,\cdots$
可见，${\eta }^{{}^{\prime }}$的分布还是几何分布，即为了达到首次成功还需要再等待的次数与前面的失败次数无关。

1.5 帕斯卡分布

在成功概率为$p$的伯努利试验中，若以$\zeta$记第$r$次成功出现时的试验次数，则$\zeta$是随机变量，取值$r,r+1,\cdots$，其概率分布为帕斯卡分布：$$P\{\zeta =k\}=C_{k-1}^{r-1}{p}^r{q}^{k-r},k=r,r+1,\cdots \text{\hspace{1em}(5)}$$

二、连续型分布

首先需要知道的是，连续型随机变量取个别值的概率为$0$，即$P\{\xi =c\}=0$。在图型上，密度函数对各种分布的特征的显示要比分布函数优胜的多，因此它比分布函数更加常用。

2.1 均匀分布

若$a,b$为有限数，由下列密度函数定义的分布称为$[a,b]$上的均匀分布：$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& x<a或x>b\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
记作$U[a,b]$

2.2 正态分布

密度函数为$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<\infty \text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，$\sigma >0$，$\mu$和$\sigma$均为常数，这种分布称为正态分布，简记为$N(\mu ,{\sigma }^2)$。特别的，当$\mu =0,\sigma =1$时，称为标准正态分布，记为$N(0,1)$，相应的密度函数和分布函数记为$\phi (x)$和$\Phi (x)$。

可以验证，如果随机变量$\xi$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，那么$\frac{\xi -\mu }{\sigma }$服从$N(0,1)$。而且$$p\{\Vert \xi -\mu |<\sigma \}\approx 68.27\%\text{\hspace{1em}(8)}$$
$$p\{\Vert \xi -\mu |<2\sigma \}\approx 95.45\%\text{\hspace{1em}(9)}$$
$$p\{\Vert \xi -\mu |<3\sigma \}\approx 99.73\%\text{\hspace{1em}(10)}$$

2.3 指数分布

密度函数为$p(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$，分布函数为$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$，其中$\lambda >0$为参数，这分布称为指数分布，简记为$Exp(\lambda )$。常用它来作各种“寿命”分布的近似，例如电子元件的寿命，某些动物的寿命，电话问题中的通话时间等。
另外，与几何分布类似，$p\{\xi \ge s+t|\xi \ge s\}=P\{\xi \ge t\}$。