【控制】滑模控制，滑模面的选择
| 目录 | 滑模控制的一点笔记和看法 |
|---|---|
| 1 | 【控制】滑动模型控制（Sliding Mode Control） |
| 2 | 【控制】滑模控制，小例子，有程序有结果图 |
| 3 | 【控制】滑模控制，滑模面的选择 |
文章目录
- 1 问题描述
- 2 滑模面
- 3 趋近律
- Ref.
1 问题描述
假设存在一个被控系统
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = u (1) \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= u \end{aligned} \tag{1} x˙1x˙2=x2=u(1)
设计滑模面为
s = c x 1 + x 2 (2) s = c x_1 + x_2 \tag{2} s=cx1+x2(2)
那么问题就是滑模面是什么？为什么要写成这种形式？
2 滑模面
滑模面一般可以设计为如下的形式
s ( x ) = ∑ i = 1 n − 1 c i x i + x n (3) s(x) = \sum_{i=1}^{n-1} c_i x_i + x_n \tag{3} s(x)=i=1∑n−1cixi+xn(3)
在滑模控制中，要保证多项式 p n − 1 + c n p n − 2 + ⋯ + c 2 p + c 1 p^{n − 1} + c_n p^{n − 2} + \cdots + c_2 p + c_1 pn−1+cnpn−2+⋯+c2p+c1 为Hurwitz (简单来说这条条件是为了满足状态在 s = 0 s=0 s=0 的滑模面上可以收敛)。什么是Hurwitz，即上述多项式的特征值的实数部分在左半平面，即为负。
下面举例说明：
当 n = 2 n=2 n=2 时， s ( x ) = c 1 x 1 + x 2 s ( x ) = c_1 x_1 + x_2 s(x)=c1x1+x2，为了保证多项式 p + c 1 p+c_1 p+c1 为Hurwitz，需要多项式 p + c 1 = 0 p+c_1=0 p+c1=0 的特征值实数部分为负，即 c 1 > 0 c_1>0 c1>0。
接着明确一下，控制器的目的是为了使得状态 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 均达到零，我们令 s = 0 s=0 s=0，分析一下结果有
{ c x 1 + x 2 = 0 x ˙ 1 = x 2 ⇒ c x 1 + x ˙ 1 = 0 ⇒ { x 1 ( t ) = e − c t x 1 ( 0 ) x 2 ( t ) = x ˙ 1 ( t ) = − c x 1 ( 0 ) e − c t (4) \left\{\begin{aligned} &cx_1 + x_2 = 0 \\ &\dot{x}_1 = x_2 \end{aligned}\right. ~~ \Rightarrow ~~ c x_1 + \dot{x}_1 = 0 ~~ \Rightarrow ~~ \left\{\begin{aligned} &x_1(t) = \text{e}^{-ct} x_1(0) \\ &x_2(t) = \dot{x}_1(t) = -c x_1(0) \text{e}^{-ct} \end{aligned}\right. \tag{4} {cx1+x2=0x˙1=x2 ⇒ cx1+x˙1=0 ⇒ {x1(t)=e−ctx1(0)x2(t)=x˙1(t)=−cx1(0)e−ct(4)
通过式 (4) 可以看到状态 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 最终都是趋向于零的，而且速度是以指数速率趋紧的。指数速率意味着当 t = 1 / c t=1/c t=1/c 时，趋零过程完成 63.2 % 63.2\% 63.2%，当 t = 3 / c t=3/c t=3/c 时，趋零过程完成 95.021 % 95.021\% 95.021%。那么我们通过调节参数 c c c 的大小即可实现对趋零速度的调节， c c c 越大，速度越快。
因此如果满足了 s = c x 1 + x 2 = 0 s=cx_1 + x_2=0 s=cx1+x2=0，那么系统的状态 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 也将沿着滑模面趋近于零 ( s = 0 s=0 s=0 称之为滑模面)。
3 趋近律
上述过程介绍了如果 s = 0 s=0 s=0 那么状态变量 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2 就会趋近于零，那么接下来考虑如何保证 s = 0 s=0 s=0。也就是控制器 u u u 将出现了。
针对式 (2) 的滑模面，其中并没有控制器 u u u，我们可以对式 (2) 取微分那么有
s ˙ = c x ˙ 1 + x ˙ 2 = c x 2 + u (5) \begin{aligned} \dot{s} &= c \dot{x}_1 + \dot{x}_2 \\ &= c x_2 + u \end{aligned} \tag{5} s˙=cx˙1+x˙2=cx2+u(5)
这时我们得到了 u u u 的一个式子。但是怎么与状态 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2 建立联系呢？
解决办法就是已经规整好的趋近律。趋近律就是指的 s ˙ \dot{s} s˙ 的一个显式表达式，一般有
s ˙ = { − ϵ sgn ( s ) , ϵ > 0 − ϵ sgn ( s ) − k s , ϵ > 0 , k > 0 − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s , k > 0 , 0 < α < 1 (6) \dot{s} = \left\{\begin{aligned} &-\epsilon ~\text{sgn}(s), ~~~~\epsilon > 0 \\ &-\epsilon ~\text{sgn}(s) - k s, ~~~~\epsilon > 0, k>0 \\ &-k |s|^\alpha ~\text{sgn}(s) - k s, ~~~~k>0, 0<\alpha<1 \end{aligned}\right. \tag{6} s˙=⎩ ⎨ ⎧−ϵ sgn(s), ϵ>0−ϵ sgn(s)−ks, ϵ>0,k>0−k∣s∣α sgn(s)−ks, k>0,0<α<1(6)
其中 sgn ( s ) \text{sgn}(s) sgn(s) 是符号函数， s > 0 , sgn ( s ) = 1 ; s < 0 , sgn ( s ) = − 1 ; s = 0 , sgn ( s ) = 0 s>0, \text{sgn}(s)=1; s<0, \text{sgn}(s)=-1; s=0, \text{sgn}(s)=0 s>0,sgn(s)=1;s<0,sgn(s)=−1;s=0,sgn(s)=0。
结合趋近律式 (6) 和式 (2) 滑模面的微分，我们就可以得到控制器 u u u 的代数方程表达式。
Ref.
- 滑模控制器最强解析