第一章-算法之美
第一章-算法之美
- 1.1打开算法之门
- 1.2 妙不可言——算法复杂性
- 1.3美不胜收——魔鬼序列
- 1.4灵魂之交——马克思手稿中的数学问题
- 1.5算法学习瓶颈
- 1.6你怕什么
1.1打开算法之门
数据结构 + 算法 = 程序
数据结构是程序的骨架，算法是程序的灵魂。
1.2 妙不可言——算法复杂性
一个序列之和的不同求法:
-1，1，-1，1，……，(-1)n
# 算法1-1
n = int(input())
sum_1 = 0
for i in range(1, n+1):
sum_1 += pow(-1, i)
print(sum_1)
# 算法1-2
n = int(input())
if n % 2 == 0:
sum_1 = 0
else:
sum_1 = -1
print(sum_1)
算法是指对特定问题求解步骤的一种描述。
算法具有以下特性：
(1) 有穷性：算法是由若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止。
(2) 确定性：每条语句有确定的含义，无歧义。
(3) 可行性：算法在当前环境条件下可以通过有限次运算实现。
(4) 输入输出：有零个或多个输入，一个或多个输出
"好"算法的标准：
(1) 正确性：正确性是指算法能够满足具体问题的需求，程序运行正常，无语法错误，能够通过典型的软件测试，达到预期的需求。
(2) 易读性：算法遵循标识符命名规则，简洁易懂，注释语句恰当适量，方便自己和他人阅读，便于后期调试和修改。
(3) 健壮性：算法对非法数据及操作有较好的反应和处理。例如，在学生信息管理系统中登记学生年龄时，若将21岁误输入为210岁，系统应该提示错误。
(4) 高效性：高效性是指算法运行效率高，即算法运行所消耗的时间短。算法时间复杂度就是算法运行需要的时间。现代计算机一秒钟能计算数亿次，因此不能用秒来具体计算算法消耗的时间，由于相同配置的计算机进行一次基本运算的时间是一定的，我们可以用算法基本运算的执行次数来衡量算法的效率。因此，将算法基本运算的执行次数作为时间复杂度的衡量标准。
(5) 低存储性：低存储性是指算法所需要的存储空间低。对于像手机、平板电脑这样的嵌入式设备，算法如果占用空间过大，则无法运行。算法占用的空间大小成为空间复杂度。
时间复杂度：算法运行需要的时间，一般将算法的执行次数作为时间复杂度的度量标准。
# 算法1-3
Sum = 0 # 运行1次
Total = 0 # 运行1次
for i in range(1, n+1): # 运行n次
Sum += i # 运行n次
for j in range(1, n+1): # 运行n*n次
Total += i*j # 运行n*n次
把算法的所有语句的运行次数加起来:1+1+n+n+n * n+n * n，可以用一个函数T(n)表示:T(n) = 2n2+2n+2
当n足够大时，可以看到算法运行时间主要取决于第一项，后面的甚至可以忽略不计。
算法1-3的时间复杂度渐近上限为O(f(n)) = O(n2) ----------->用到极限
我们通常使用时间复杂度渐近上限O(f(n))来表示时间复杂度
# 算法1-4
i = 1 # 运行1次
while i <= n: # 可假设运行x次
i *= 2 # 可假设运行x次
观察算法1-4，无法立即确定while及i2运行了多少次。这时可假设运行了x次，每次运算后i的值为21,22,23,…,2x,当i=n时结束，即2x=n时结束，则x=log2n,那么算法1-4的运算次数为1+2log2n,时间复杂度渐近上限为O(f(n)) = o(log2n)。
在算法解析中，渐近复杂度是对算法运行次数的粗略估计，大致反映问题规模增长趋势，而不必精确计算算法的运行时间。在计算渐近时间复杂度时，可以只考虑对算法运行时间贡献大的语句，而忽略那些运算次数少的语句，循环语句中处在循环内层的语句往往运行次数最多，即为对运行时间贡献最大的语句。例如在算法1-3中，Total = Total + i * j 是对算法贡献最大的语句，只计算该语句的运行次数即可。
注意: 不是每个算法都能直接计算运行次数的。
# 算法1-5
def findx(x): # 在列表中顺序查找x
list_chu = [i for i in range(1,100)]
for j in range(len(list_chu)):
if list_chu[j] == x:
return j # 返回其下标j
return -1
print(findx(50))
我们很难计算算法1-5中的程序到底执行了多少次，因为运行次数依赖于x在列表中的位置，如果第一个元素就是x，则执行1次（最好情况）；如果最后一个元素是x，则执行n次（最坏情况）；如果分布概率均等，则平均执行次数为（n + 1）/ 2。
有些算法，如排序、查找、插入等算法，可以分为最好、最坏和平均情况分别求算法渐近复杂度，但我们考查一个算法通常考查最快情况，而不是最好情况，最坏情况对衡量算法的好坏具有实际的意义
空间复杂度：算法占用的空间大小。一般将算法的辅助空间作为衡量空间复杂度的标准。
空间复杂度的本意是指算法在运行过程中占用了多少存储空间。算法占用的存储空间包括：
（1） 输入/输出数据；
（2） 算法本身；
（3） 额外需要的辅助空间。
输入/输出数据占用的空间是必须的，算法本身占用的空间可以通过精简算法来缩减，但这个压缩的量是很小的，可以忽略不计。而在运行时使用的辅助变了所占用的空间，即辅助空间是衡量空间复杂度的关键因素。
# 算法1-6
def change(x,y): # x与y交换
temp = x # temp为辅助空间
x = y
y = temp
return x,y
print(change(1,2))
该算法使用了一个辅助空间temp，空间复杂度为O（1）。
注意： 递归算法中，每一次递推需要一个栈空间来保存调用记录，因此，空间复杂度需要计算递归栈的辅助空间。
# 算法1-7
def jiecheng(n): # 计算n的阶乘
if n < 0: # 小于零的数无阶乘值
print("data error!")
elif n == 0 or n == 1:
return 1
else:
return n * jiecheng(n - 1)
print(jiecheng(4))
阶乘是典型的递归调用问题，递归包括递推和回归。递推是将原问题不断分解成子问题，直到达到结束条件，返回最近子问题的解；然后逆向逐一回归，最终达到递推开始的原问题，返回原问题的解。
图1-5和图1-6的递推、回归过程是我们从逻辑思维上推理，用图的方式形象地表达出来的，但计算机内部是怎么处理的呢？计算机使用一种称为"栈"的数据结构，它类似于一个放一摞盘子的容器，每次从顶端放进去一个，拿出来的时候只能从顶端拿一个，不允许从中间插入或抽取，因此称为"后进先出"（last in first out）。
从图1-7和图1-8的进栈、出栈过程中，我们可以很清晰地看到，首先把子问题一步步地压进栈，直到得到返回值，再一步步地出栈，最终得到递归结果。再运算过程中，使用了n个栈空间作为辅助空间，因此阶乘递归算法的空间复杂度为O(n)。
1.3美不胜收——魔鬼序列
趣味故事1-1：一棋盘的麦子
有一个古老的传说，有一位国王的女儿不幸落水，水中游很多鳄鱼，国王情急之下下令："谁能把公主就上来，就把女儿嫁给他。"很多人纷纷退让，一个勇敢的小伙子挺身而出，冒着生命危险把公主救了上来，国王一看是个穷小子，想要反悔，说："除了女儿，你要什么都可以。"小伙子说："好吧，我只要一棋盘的麦子。您在第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒，以此类推，每个格子里的麦子粒数都是前一格的两倍。把这64个格子都放好了就行，我就要这么多。"国王听后哈哈大笑，觉得小伙子的要求很容易满足，满口答应。结果发现，把全国的麦子都拿来，也填不完这64格… …国王无奈，只好把女儿嫁给了这个小伙子。
# 方法1
def maizi():
Sum = 0
for i in range(64): # 共64格格子
Sum += 2 ** i # 第一个格子是1，每个格子是前一个格子的2倍
return Sum # 返回总数
print(maizi())
# 方法2：
Sum = 2 ** 64 - 1
print(Sum)
我们称这样的函数为爆炸增量函数(方法2,即图解方法)，想一想，如果算法时间复杂度是O(2n)会怎样？随着n的增长，这个算法会不会"爆掉"?
注意： 宕机就是死机，指电脑不能正常工作了，包括一切原因导致的死机。计算机主机出现意外故障而死机，一些服务器（如数据库）死锁，服务器的某些服务停止运行都可以称为宕机。
常见的算法时间复杂度游以下几类：
（1） 常数阶
常数阶算法运行的次数是一个常数，如5、20、100。常数阶算法时间复杂度通常用O(1)表示，如算法1-6，它的运行次数为4，就是常数阶，用O(1)表示。
（2） 多项式阶
很多算法时间复杂度是多项式，通常用O(n)、O(n2)、O(n3)等表示。例如算法1-3就是多项式阶。
（3） 指数阶
指数阶时间复杂度运行效率极差，常见的有O(2n)、O(n！)、O(nn)等。使用这样的算法要慎重，如趣味故事1-1.
（4） 对数阶
对数阶时间复杂度运行效率较高，常见的有O(logn)、O(nlogn)等，如算法1-4。
从图1-9中可以看出，指数阶增量随着x的增加而急剧增加，而对数阶增加缓慢。它们之间的关系为：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n！) < O(nn)
我们在设计算法时要注意算法复杂度增量的问题，尽量避免爆炸级增量。
趣味故事1-2：神奇兔子数列
假设第一个月有1对刚诞生的兔子，第二个月进入成熟期，第三个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去……那么，由1对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
（1） 问题分析
第1个月：新生
第2个月：成熟
第3个月：成熟+新生
第4个月：成熟+成熟+新生
第5个月：成熟+成熟+成熟+新生+新生
第6个月：成熟+成熟+成熟+成熟+成熟+新生+新生+新生
这个数列有个十分明显的特点，从第3个月开始，当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数，而当月新生兔子数正好是上上月的兔子数。因此，前面两项之和，构成了后一项，即：
当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数
斐波那契数列如下：
1,1,2,3,5,8,13,21,34，…
递归表达式：
F(n) = 1 , n=1
F(n) = 1 , n=2
F(n) = F(n-1) + F(n-2) , n>2
# 算法1-8
def tuzi(month):
if month < 1:
return -1
elif month == 1 or month == 2:
return 1
else:
return tuzi(month-1) + tuzi(month-2)
print(tuzi(0))
算法1-8是一个指数阶的算法！它的时间复杂度属于爆炸增量函数
# 算法1-9
def tuzi(month):
list_tuzi = []
if month < 1:
return -1
list_tuzi.append(1)
list_tuzi.append(1)
for i in range(2,month+1):
list_tuzi.append(list_tuzi[i-1] + list_tuzi[i-2])
return list_tuzi[month-1]
print(tuzi(12))
算法改进
既然斐波那契数列中的每一项是前两项之和，如果记录前两项的值，只需要一次加法运算就可以得到当前项，见算法1-9。
很明显，算法1-9的时间复杂度为O(n)。算法仍然是按照F(n)的定义，所以正确性没有问题，而时间复杂度却从算法1-8的指数阶降到了多项式阶。
# 算法1-10
def tuzi(month):
if month < 1:
return -1
if month == 1 or month == 2:
return 1
s1 = 1
s2 = 1
for i in range(2,month+1):
s2 = s1 + s2 # 辗转相加法
s1 = s2 - s1 # 记录前一项
return s1
print(tuzi(12))
算法1-9使用了一个辅助数组记录中间结果，空间复杂度也为O(n)，其实我们只需要得到第n个斐波那契数，中间结果只是为了下一次使用，根本不需要记录。因此，我们采用迭代法进行算法设计，见算法1-10。
算法1-10使用了若干个辅助变量，迭代辗转相加，每次记录前一项，时间复杂度为O(n)，但空间复杂度降到了O(1)。
问题的进一步讨论： 实质上，斐波那契数列时间复杂度还可以降到对数阶O(logn)
个人比较喜欢的一段话
斐波那契数列起源于兔子数列，这个现实中的例子让我们真切地感到数学源于生活，生活中我们需要不断地通过现象发现数学问题，而不是为了学习而学习。学习的目的是满足对世界的好奇心，如果我们怀着这样一颗好奇心，或许世界会因你而不同！斐波那契通过兔子繁殖来告诉我们这种数学问题的本质，随着数列项的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618时，我彻底被震惊到了，因为数学可以表达美，这是令我们叹为观止的地方。当数学创造了更多的奇迹时，我们会发现数学本质上是可以回归到自然的，这样的事例让我们感受到数学的美，就像黄金分割、斐波那契数列，如同大自然中的一朵朵小花，散发着智慧的芳香……
1.4灵魂之交——马克思手稿中的数学问题
趣味故事1-3：马克思手稿中的数学问题
马克思手稿中有一道趣味数学问题：有30个人，其中有男人、女人和小孩，这些人在一家饭馆吃饭花了50先令；每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令；问男人、女人和小孩各有几人？
# 我的暴力解法
def tuzi(month):
if month < 1:
return -1
if month == 1 or month == 2:
return 1
s1 = 1
s2 = 1
for i in range(2,month+1):
s2 = s1 + s2 # 辗转相加法
s1 = s2 - s1 # 记录前一项
return s1
print(tuzi(12))
问题分析
由nan + nv + xiao = 30和3nan+2nv+xiao=50两式相减可得：2nan+nv=20
因为nan、nv为正整数，nan最大只能取9，所以nan变化范围是1-9。
# 算法1-11
for nan in range(1, 10):
nv = 20 - 2 * nan
xiao = 30 - nan - nv
if 3*nan + 2*nv + xiao == 50:
print(nan,nv,xiao)
算法分析
算法完全按照题中方程设计，因此正确性毋庸置疑。对算法时间复杂度贡献最大的语句是for nan in range(1, 10)，该语句的执行次数是9，for循环中3条语句的执行次数也为9，其他语句执行次数为1，时间复杂度为O(1)，没有使用辅助空间，空间复杂度也为O(1)。
问题的进一步讨论
为什么让nan来确定nv和xiao的值？让nv、xiao来确定行不行？有更好的算法降低时间复杂度吗？
趣味故事1-4：爱因斯坦的阶梯
爱因斯坦家里有一条长阶梯，若每步跨2阶，则最后剩1阶；若每步跨3阶，则最后剩2阶；若每步跨5阶，则最后剩4阶；若每步跨6阶，则最后剩5阶。只有每次跨7阶，最后才刚好1阶不剩。请问这条阶梯共有多少阶？
# 算法1-12
jie = 0
while True:
if jie%2==1 and jie%3==2 and jie%5==4 and jie%6==5 and jie%7==0:
print(jie)
break
else:
jie += 1
因为jie从1开始，找到第一个满足条件的数就停止，所以算法1-12中的while语句运行了119次。
# 算法1-13
jie = 7
while True:
if jie%2==1 and jie%3==2 and jie%5==4 and jie%6==5:
print(jie)
break
else:
jie += 7
算法改进
因为每次跨7阶，最后刚好1阶不剩，因此这个数一定是7的倍数。算法1-13为改进算法。该算法中while语句执行了119/7=17次。
趣味故事1-5：哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。
验证：2000以内大于2的偶数都能够分解为两个素数之和。
# 质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；
# 否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。
# 算法1-14
def isprime(num): # 判断是否为素数
if num <= 1:
return 0
elif num == 2:
return 1
else:
for i in range(2, num//2+1):
if num % i == 0:
return 0
return 1
for j in range(2, 2001, 2): # 对2000以内大于2的偶数进行判断
for k in range(2, j+1): # 分解
if isprime(k) and isprime(j-k): # 如果分解后的数为素数
print(j, k, j-k)
break
算法改进——未完成代码
先判断所有分解可能得到的数是否为素数，然后把结果存储下来，有以下两种方法：
(1) 用布尔型数组flag[2…1998]记录分解可能得到的数（2-1998）所有数是不是素数，分解后的值作为下标，调用该数组即可。时间复杂度减少，但空间复杂度增加.
(2) 用数值型数组data[302]记录2~1998中所有的素数(302个)。
A、分解后的值，采用折半查找（素数数组为有序存储）的办法在素数数组中查找，找到就是素数，否则不是。
B、不分解，直接在素数数组中找两个素数之和是否为i，如果找到，验证成功。因为素数数组为有序存储，当两个数相加比i大时，不需要再判断后面的数。
1.5算法学习瓶颈
总结
(1) 无论做研究还是实际工作，一个计算机专业人士最重要的能力就是解决问题——解决那些不断从实际应用中冒出来的新问题
(2) 算法作为一门学问，有两条几乎平行的线索。一个是数据结构(数据对象)：数、矩阵、集合、串、排列、图、表达式、分布等。另一个是算法策略：贪心、分治、动态规划、线性规划、搜索等。两者要结合着一起学。
1.6你怕什么
本章主要说明以下问题：
（1）将程序执行次数作为时间复杂度衡量标准。
（2）时间复杂度通常用渐近上界符号f(n)表示。
（3）衡量算法的好坏通常考查算法的最坏情况。
（4）空间复杂度只计算辅助空间。
（5）递归算法的空间复杂度要计算递归使用的栈空间。
（6）设计算法时尽量避免爆炸级增量复杂度。