数学建模——粒子群优化算法(PSO)【有详细样例 + 工具：matlab】（万字总结)

---

敲到码穷处，望尽天涯路。

数学建模系列文章——总结篇：《数模美一国一退役选手的经验分享[2021纪念版]》.

---

一、粒子群优化算法(PSO)是什么？

  粒子群优化算法(Particle Swarm optimization,PSO) 是一种通过 模拟鸟群觅食行为 而发展起来的一种 基于群体协作 的 随机搜索 算法。

  设想这样一个场景：一群在随机搜索。在这个区域处处分散着虫子。所有的都不知道最集中的地方在哪里。
  但是它们知道各自目前位置的虫子密度 和 其他鸟周围的虫子密度。那么找到目标地点的最优策略是什么呢？

  最简单有效的策略就是：

1. 众鸟一起去搜寻 目前在虫子密度区域最大的鸟 的周围区域。

2. 根据自己飞行的经验，来判断虫子密度最大的区域的所在。

算法核心思想：PSO的基础是 信息的“社会共享”

---

二、粒子群优化算法有什么用？

  和蚁群算法、遗传算法类似，包括粒子群算法，这三者都属于 无约束 的优化算法，属于全局搜索算法，是 启发式 算法。

  它只能够得到 全局最优的近似解 ，可能得不到全局最优解。

  这些算法可以用在全局路径搜索、网络路由规划、寻找复杂函数的最值点等应用，比如 TSP路线搜索。

---

三、粒子群优化算法的适用范围？

   该算法可以用在，关于 大数据、复杂度高、目标函数复杂的 要求要解出最优值 的问题中。

   也可将其作为辅助模型来搭配主流模型，将两个模型的结果做一个对比、分析。看看智能优化算法与主流模型的差距。

---

四、算法简介(有助于理解)

  在PSO中，搜索空间中的每一只鸟 对应 优化问题的每个解。我们将 “鸟” 称之为 “粒子” 。

  所有的粒子都有一个 “随身携带” 的属性，即需优化的目标函数所计算出的适应值(fitness value)。每个粒子还有两个属性一个是飞翔的速度，另一个是当前的位置。
  然后粒子们就追随当前的 最优 粒子，动态地在解空间中搜索全局最优解。

---

五、算法流程

  我们以两个例子(第2个例子在 十、拓展 一栏)作跳板，从 1维 到 多维 ， 由易到难。

  假设我现在要解决 1维 空间的问题（比如：求如下函数的最大值问题）
$$f(x)=-(x-10{)}^2+x\times sin(x)cos(2x)-5x\times sin(3x)，其中，x\in [0,20]$$

第一步：初始化

  在 $D=1$ 维的空间里，初始化有 $N$ 个粒子，这些粒子分别初始化有以下属性 ( 因为这些粒子只能在$x$轴上运动，所以我称之为一维 )：

  ①第 $i$ 个粒子的位置：$x_i，i=1,2,...,N$

  ②第 $i$ 个粒子的速度：$v_i，i=1,2,...,N$

  ③第 $i$ 个粒子所经过的最好的位置：$pbes{t}_i，i=1,2,...,N$
  注：“pbest” 中的 “p” 指得是 “PSO” 中的 “P” → Particle(中文翻译：粒子)

  ④整个粒子群所经过的最好的位置：$gbest$
  注：“gbest” 中的 “g” 指得是 Group .

  ⑤给所有粒子的 位置 加上限制：$xlimi{t}_i\in [X_{min},X_{max}]，i=1,2,...,N$。
  在上面这个例子里面就是 $xlimi{t}_i\in [0,20]，i=1,2,...,N$

  ⑥给所有粒子的 速度 加上限制：$vlimi{t}_i\in [V_{min},V_{max}]，i=1,2,...,N$

  ⑦设置迭代次数 $iter$。这个例子我假设 $iter=50$ 。

  ⑧设在每次迭代过程中，粒子们的自我学习因子 $c_1$ 。它用来调节 粒子每次移动的步长 受 “自我” 的影响因素大小。

  ⑨设在每次迭代过程中，粒子们的群体学习因子 $c_1$ 。它用来调节 粒子每次移动的步长 受 “群体” 的影响因素大小。

  ⑩设在每次迭代过程中，粒子们的惯性权重为 $w$ 。它是一个非负数，用来体现 继承上一刻自己速度的 “能力”。

第二步：计算粒子的适应度

  这里的适应度函数就是 $f(x)=-(x-10{)}^2+x\times sin(x)cos(2x)-5x\times sin(3x)$

  将第 $i$ 个粒子当前的位置 $x_i$ 带入即可得到 该粒子当前的适应度 $f(x_i)$ 。

第三步：更新个体极值与全局最优解

   更新 第 $i$ 个粒子的个体最佳适应度 $f_{pbest}(x_i)$ 和 群体整体的最佳适应度$f_{gbest}$。这两个不仅可以用来画后面的 收敛图，还可以用到 第五步中的方案② 。

  再根据 $f_{pbest}(x_i)$ 更新 粒子的最佳位置 $pbes{t}_i，i=1,2,...,N$。

  再从这些 最佳位置 $pbes{t}_i$ 中找到一个群体的最佳位置 $gbest$ ，叫做 本次迭代 的全局最佳位置。

第四步：更新个体的速度和位置

  更新公式如下：$$v_i=v_i\times w+c_1\times rand()\times (pbes{t}_i-x_i)+c_2\times rand()\times (gbest-x_i)$$$$x_i=x_i+v_i$$  说明：①rand() 是 matlab 里面的一个产生 [0,1]之间的随机数函数 。

     ②若在迭代过程中，第 $i$ 个粒子的位置 $x_i$ 超过了边界 $[X_{min},X_{max}]$ ，则该粒子的 $x_i$ 被调节为 $X_{min}$ 或 $X_{max}$。(看它是超过了下限还是上限)。同理，对于 $v_i$ 也是这样处理。

第五步：设置终止条件

  终止条件一般有这两种方案：

    ①达到设定迭代次数。

    ②某一指标与理想目标的差值满足某一最小界限。(可以理解为精度达到某一要求)

  若未达到终止条件，则转到第二步。对于这个样例，我采用的是 “终止方案①”。

---

六、matlab代码实现

clc;clear;close all;
f= @(x) - (x - 10) .^ 2 + x .* sin(x) .* cos(2 * x) - 5 * x .* sin(3 * x) ; % 适应度函数表达式(求这个函数的最大值)  
figure(1);
fplot(f, [0 20], 'b-');                 % 画出初始图像 

d = 1;                           % 空间维数(该例子是1维)  
N = 15;                          % 初始种群个数         
x_limit = [0, 20];               % 设置位置限制  
v_limit = [-1, 1];               % 设置速度限制    

x = x_limit(1) + (x_limit(2) - x_limit(1)) * rand(N, d); %初始每个粒子的位置  
v = rand(N, d);                  % 初始每个粒子的速度  

pbest = x;                       % 初始化每个个体的历史最佳位置 
gbest = zeros(1, d);             % 初始化种群的历史最佳位置  

fp_best = zeros(N, 1);           % 初始化每个个体的历史最佳适应度 为 0  
fg_best = -inf;                  % 初始化种群历史最佳适应度 为 负无穷  

iter = 50;                       % 最大迭代次数
w = 0.8;                         % 惯性权重  
c1 = 0.5;                        % 自我学习因子  
c2 = 0.2;                        % 群体学习因子 

hold on;
plot(x, f(x), 'ro');
title('初始状态图');  

  
record = zeros(iter, 1);        % 记录器(用于记录 fg_best 的变化过程)
figure(2);
i = 1; 
while i <= iter  
    fx = f(x) ;                 % 计算个体当前适应度     
    for j = 1:N        
        if fp_best(j) < fx(j) 
            fp_best(j) = fx(j); % 更新个体历史最佳适应度
            pbest(j) = x(j);    % 更新个体历史最佳位置 
        end   
    end
    if fg_best < max(fp_best) 
        [fg_best,ind_max] = max(fp_best);     % 更新群体历史最佳适应度
        gbest = pbest(ind_max);               % 更新群体历史最佳位置，其中 ind_max 是最大值所在的下标
        % 注：将上面的两个式子换成下面两个是不可以的
        % [gbest, ind_max] = max(pbest);      % 更新群体历史最佳位置，其中 ind_max 是最大值所在的下标
        % fg_best = fp_best(ind_max);         % 更新群体历史最佳适应度   
    end  
    v = v * w + c1 * rand() * (pbest - x) + c2 * rand() * (repmat(gbest, N, 1) - x); % 速度更新
    % 注： repmat(A,r1,r2):可将矩阵 扩充 为每个单位为A的r1*r2的矩阵
    
    % 边界速度处理  
    v(v > v_limit(2)) = v_limit(2);
    v(v < v_limit(1)) = v_limit(1);  
    
    x = x + v;% 位置更新  
    
    % 边界位置处理  
    x(x > x_limit(2)) = x_limit(2);  
    x(x < x_limit(1)) = x_limit(1);  
    
    record(i) = fg_best;%最大值记录  
    
    % 画动态展示图
    zuo_x = 0 : 0.01 : 20;  
    plot(zuo_x, f(zuo_x), 'b-', x, f(x), 'ro');
    title('状态位置变化')  
    pause(0.1)  
    i = i + 1;
%     if mod(i,10) == 0   % 显示进度
%         i
%     end
end  
figure(3);
plot(record);
title('收敛过程'); 
zuo_x = 0 : 0.01 : 20;  

figure(4);
plot(zuo_x, f(zuo_x), 'b-', x, f(x), 'ro');
title('最终状态图')

disp(['最佳适应度：',num2str(fg_best)]);  
disp(['最佳粒子的位置x：',num2str(gbest)]);  

七、运行结果

1、各粒子的初始状态位置

2、各粒子的状态位置变化图

3、各粒子的最终收敛位置

4、收敛过程

  注：x 轴代表的是迭代次数，y 轴代表的是 群体的历史最佳适应度 $f_{gbest}$ 。

---

七、粒子群优化算法的使用流程图

  稍微总结一下：

---

八、粒子群优化算法的特点：

  （1）它是一类不确定算法。不确定性体现了自然界生物的生物机制，并且 在求解 某些特定问题 方面优于 确定性算法 。

  （2）是一类 概率型 的全局优化算法。非确定算法的优点在于算法能有更多机会求解全局最优解。

  （3）不依赖于优化问题本身的严格数学性质。

  （4）是一种基于多个智能体的 仿生优化算法 。粒子群算法中的各个智能体之间通过 相互协作 来更好的适应环境，表现出与环境交互的能力。

  （5）具有自组织性、进化性和记忆功能，所有粒子都保存有最优解的相关 属性 。

  （6）都具有稳健性。稳健性是指在不同条件和环境下算法的实用性和有效性，但是现在 粒子群算法的数学理论基础还不够牢固 ，算法的收敛性还需要讨论。

---

九、拓展知识

  上面个例子是针对于 1维 的情况，但是在实际生活中，我们往往是要解决多维的问题。
  虽然维度 $D$ 增加了，但 算法的核心思想还是没有变 。
  知识代码要做相应的变化。下面就以 2维 的例子大致讲一下。（主要是代码变了点）

  假设我现在要解决 2维 空间的问题（比如：求如下函数的最大值问题）
$$f(x,y)=-x^2-y^2+10\times cos(2\pi x)+10\ast cos(2\pi y)+100，其中，x\in [-10,10]，y\in [-5,5]$$

该函数x新建在 f_xy.m 文件里面
function z = f_xy(x, y)
% 适应度函数
z = - x.^2 - y.^2 + 10*cos(2*pi*x) + 10*cos(2*pi*y) + 100;
end

% 主调用函数
clc;clear;close all;
[ZuoBiao_x, ZuoBiao_y] = meshgrid(-10:0.1:10,-5:0.1:5);   % 产生二维坐标
ZuoBiao_z = f_xy(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y);
figure(1);
s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z);      % 画网格曲面图
s.FaceColor = 'flat';    % 修改网格图的属性


% 初始化种群 
N = 100;                        % 初始种群个数  
D = 2;                          % 空间维数  
iter = 50;                      % 迭代次数       
x_limit = [-10, 10; -5, 5];     % 位置限制  
v_limit = [ -2,  2; -1, 1];     % 速度限制  

x = zeros(N, D);
for i = 1:D 
    x(:,i) = x_limit(i, 1) + (x_limit(i, 2) - x_limit(i, 1)) * rand(N, 1);%初始种群的位置  
end  
v(:,1) = rands(N, 1) * 1;       % 初始种群x方向的速度 
v(:,2) = rands(N, 1) * 2;       % 初始种群y方向的速度 

p_best = x;                     % (初始化)每个个体的历史最佳位置  
f_best = zeros(1, D);           % (初始化)种群的历史最佳位置  

fp_best = zeros(N, 1) - inf;    % (初始化)每个个体的历史最佳适应度为负无穷  
fg_best = -inf;                 % (初始化)种群历史最佳适应度为负无穷

w = 0.8;                        % 惯性权重
c1 = 0.5;                       % 自我学习因子  
c2 = 0.5;                       % 群体学习因子 

figure(2);
s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z);    % 画网格曲面图
s.FaceColor = 'flat';                         % 修改网格图的属性
hold on;
plot3(x(:,1), x(:,2),f_xy(x(:,1), x(:,2)), 'ro');
title('初始状态图');  


figure(3); 
i = 1;  
record = zeros(iter, 1);                 % 记录器  
while i <= iter  
    fx = f_xy(x(:,1), x(:,2));       % 个体当前适应度     
    for j = 1:N        
        if fp_best(j) < fx(j)        % 记录最大值
            fp_best(j) = fx(j);      % 更新个体历史最佳适应度  
            p_best(j,:) = x(j,:);    % 更新个体历史最佳位置  
        end   
    end  
    if fg_best < max(fp_best)  
        [fg_best, ind_max] = max(fp_best);    % 更新群体历史最佳适应度  
        f_best = p_best(ind_max, :);          % 更新群体历史最佳位置  
    end  
    
    v = v * w + c1 * rand() * (p_best - x) + c2 * rand() * (repmat(f_best, N, 1) - x); % 速度更新
    
    % 速度处理
    for t=1:N
        for k=1:D
            if v(t,k) > v_limit(k,2)      % 超速处理
                v(t,k) = v_limit(k,2);
            elseif v(t,k) < v_limit(k,1)  % 慢速处理
                v(t,k) = v_limit(k,1);
            end   
        end
    end

    x = x + v;            % 位置更新

    % 边界处理
    for t=1:N
        for k=1:D
            if x(t,k) > x_limit(k,2)      % 超过边界上限
                x(t,k) = x_limit(k,2);
            elseif x(t,k) < x_limit(k,1)  % 超过边界下限
                x(t,k) = x_limit(k,1);
            end
        end
    end
    
    record(i) = fg_best;   % 最大值记录  
    i = i + 1;
    if mod(i,10)  == 0
        i                  % 收敛进度输出
    end
    pause(0.1) 
    
end

figure(4)
plot(record);
title('收敛过程');

% 画最终状态图
figure(5);
[ZuoBiao_x, ZuoBiao_y] = meshgrid(-10:0.1:10,-5:0.1:5);   % 产生二维坐标 
s = mesh(ZuoBiao_x, ZuoBiao_y, ZuoBiao_z);      % 画网格曲面图
s.FaceColor = 'flat'; % 修改网格图的属性
hold on;
scatter3(x(:,1), x(:,2), f_xy(x(:,1), x(:,2)), 'ro');
title('最终状态图')

disp(['最大值：',num2str(fg_best)]);
disp(['变量取值：',num2str(f_best)]);


% 下面一段用来输出 粒子群最佳适应度的排行榜
[socre,ind] = sort(fp_best, 'descend')  % 降序排序
DaAn = zeros(3,2);
for i=1:N
    row = ind(i);
    DaAn(i,:) = p_best(row,:);
end

  运行结果：

---

十、总结：

  本文细分目录，从头到尾 大致 讲解了PSO的定义、原理、实现、配合样例和相关拓展。主要内容如下：

  ①粒子群优化算法是什么？

  ②粒子群优化算法(PSO)是什么？

  ③粒子群优化算法有什么用？

  ④粒子群优化算法的适用范围？

  ⑤算法简介(有助于理解)

  ⑥算法的实现流程

  ⑦matlab代码实现

  ⑧粒子群优化算法的使用流程图

  ⑨粒子群优化算法的特点

  ⑩拓展知识（1维→多维）

  最后，我没有 非常深入 地阐述其原理，只阐述了有什么用、怎么用。如要了解详细的原理，可以看看文章最后的 参考附录 。

---

十一、参考附录：

[1] 《粒子群优化算法(PSO)》
阅读这篇文章可以知道 PSO 的 研究背景、来源和主要应用
链接: https://blog.csdn.net/weixin_40679412/article/details/80571854.

[2] 《粒子群优化算法 很好的博客》
这篇文章的最后讲解了c₁、c₂的深刻含义。
链接: https://blog.csdn.net/zqx951102/article/details/89927955.

数学建模系列文章——总结篇：《数模美一国一退役选手的经验分享[2021纪念版]》.

---

⭐️ ⭐️