初识算法之美

本篇是学习了《趣学算法（第2版）》 第一章之后总结的。

对算法的理解：

计算机虽然可以高效的进行运算，但是有很多问题拼的不是算力，而是策略。如果没有策略的去计算，那再强的运算能力也只能称为“蛮力”。策略就是帮助我们如何用更少的计算步骤、更快的速度去运算出结果。换言之，策略就是你设计算法的思路，目的只有一个就是：快人一步。

计算机不同于人脑，人脑面对问题可以先去“观察”、“分析”，然后把复杂转化成简单问题（跟数学题一样，算法就是简便的解题思路）。目前在绝大多数领域计算机还不具备这个功能，离开了人脑，计算机还只是一个人的使用工具罢了。

算法有两个衡量标准：

• 时间长短（时间复杂度）
• 占用内存大小（空间复杂度）

先展望一下学习历程：

算法学习是一个循序渐进的过程，经常训练解题能力，逐步积累解题方法策略，最后内化成自己的知识，灵活运用去应对新的问题。

“初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗。”，挺喜欢这句话

算法知识点

1. 高斯算法（倒序相加）
2. 数列求和

算法题目

求： $S_n = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{63}=$

该函数属于爆炸增量函数。

做题思路

方法一

公式法

如果还记得高中数学知识，不难发现，这是一个等比数列求和问题，$a_1 = 1，公比q = 2，n = 64$

等比数列求和公式：$$S_n = a_1 * \frac{1 - q^n}{1 - q} ，(q ≠ 1)$$

本文暂不讲解公式推导过程

代入公式，上面的式子 = $1 * \frac{1 - 2^{64}}{1 - 2} = 2^{64} - 1 = 18446744073709551615$ ，从而转化问题，解题

方法二

忘记方法叫什么名字了，主要原理就是销项，使问题转化成第一项和最后一项的差。

根据原式，等号两边同时乘以2，得式子②$2S_n = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{63} + 2^{64}$

用式子② - 原式 = $S_n = 2^{64} - 1 =18446744073709551615$

据专家统计，每颗麦粒的平均重量约41.9毫克，这些麦粒的总重量为：

$18446744073709551615×41.9$

$=772918576688430212668.5(毫克)$

$≈7729000（亿千克）$

全世界人口按77亿计算，每人差不多可以分得100000千克（即100吨）！

总结

常见的算法时间复杂度有以下几类。

1. 常数阶。
   常数阶算法的运行次数是一个常数，如5、20、100。常数阶算法的时间复杂度通常用O(1)表示。
2. 多项式阶。
   很多算法的时间复杂度是多项式，通常用 0(n)、$O(n^2)$、$0(n^3)$等表示。
3. 指数阶。
   指数阶算法的运行效率极差，程序员往往像躲“恶魔”一样避开这种算法。指数阶算法的时间复杂度通常用$O(2^n)$、$O(n!)$、$O(n^n)$等表示。
4. 对数阶。
   对数阶算法的运行效率较高，通常用$O(logn)$、$O(nlogn)$等表示。
   指数阶增量随着的增加而急剧增加，而对数阶增长缓慢。它们之间的关系如下：

$$O(1)＜O(logn)＜O(n)＜O(nlogn)＜O(n^2)＜O(n^3)＜O(2^n)O(n!)＜O(n^n)$$

在设计算法时，我们要注意算法复杂度增量的问题，尽量避免爆炸级增量。

通过上面一个算法小例子，又勾起了我对数学的兴趣。算法跟数学是息息相关的，平常也要复习一下数学知识，相信也会有所帮助的。

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