动态规划之背包问题

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算法知识点

01背包问题

算法题目描述

做题思路

特点： 每件物品仅用一次

N件物品，容量为V的背包。每件物品只能用一次。

dp[i][j]表示所有包含前i个物品且价值和不超过j的所有选法的集合

将fi表示的所有选法分成两大类（划分原则：不漏）

① 选法中不含 i ， 即从 1 ~ i-1中选，且总体积不超过j，即 f[i-1]

② 选法中包含 i ，即从 1 ~ i 中选，包含 i，且总体积不超过 j

可以先把第 i 个物品拿出来，即从第 1 ~ i-1中选，且总体积不超过 j-v[i]

即：dp[i-1][j-v[i]] + w[i];

所以：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);

模板代码

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        int N = 1010;
        int[][] dp = new int[N][N];
        int[] v = new int[N];
        int[] w = new int[N];
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            v[i]=scan.nextInt();
            w[i]=scan.nextInt();
        }
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=v[i]) dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
}

完全背包问题

在01背包问题的基础上如果使物品的数量有限，就变成了完全背包问题

分析思路如下

再此基础上，我们将dp数组进行改良，为什么可以做类似等差一样的操作，按照正常来说，会比上面多出来一项，因为完全背包问题这里每一种物品是没有数量限制，一直拿到最后一项最多k个满足公式j>=kv，如果拿到k+1个就不满足j>=kv,所以就会跟上面一样项，没有多出来一项，多重背包问题就有数量限制，s个，所以因为拿完s个之后还没有超过总体积的j，所以还有可能多出来一项，s+1则会满足j>=kv的这条公式。

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int N = 1010;
        int[] v = new int[N];
        int[] w = new int[N];
        int[][] f = new int[N][N];
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
            v[i] = scan.nextInt();
            w[i] = scan.nextInt();
        }

        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
            for(int j = 0 ; j <= m ; j ++ ){
                f[i][j] = f[i - 1][j]; // 表示我们划分的第一个不包含i的方案

                // 划分的包含1-k个i的方案,因为可能不存在，所以需要判断一下，v[i]的大小是不是超过总容量j
                if (j >= v[i]) f[i][j] = Math.max(f[i][j] , f[i][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        System.out.println(f[n][m]);
    }
}