EM算法-硬币实验的理解

EM算法-使用硬币实验的例子理解

EM算法，即最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm, EM），是一类通过迭代进行极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的优化算法 ，通常作为牛顿迭代法的替代用于对包含隐变量（latent variable）或缺失数据（incomplete-data）的概率模型进行参数估计 。
EM算法的标准计算框架由E步（Expectation-step）和M步（Maximization step）交替组成，算法的收敛性可以确保迭代至少逼近局部极大值 。
由于迭代规则容易实现并可以灵活考虑隐变量 ，EM算法被广泛应用于处理数据的缺测值 ，以及很多机器学习算法，包括高斯混合模型和隐马尔可夫模型的参数估计。

本文通过一个实例讲讲EM算法在具体实例中的使用和体现。

一、硬币实验概述

• 首先要明确硬币实验本身的问题是
  两块硬币A、B与我们熟知的硬币不同，它们形状不是均匀分布的，所以抛出正面的概率并不是简单的50%，现在我们想知道这两块硬币分别抛出正面的概率
• 探究的方法：做实验，将A硬币抛$n$次，记正面次数为$n_h$，在n足够大情况下的，硬币A抛出正面的概率为实验出现的频率，即$p_A=\frac{n_h}{n}$。B硬币同理。
• 遇到的问题：研究员做实验的时候对A、B硬币分别做实验，但是他忘记记录他每次抛的时候抛的硬币是A还是B了。也就是说我们只有一堆正面、反面的事件记录，但是我们不知道发生该事件的硬币是A还是B，问怎么求原来的问题。

二、解决方案

1. 情况a：可以观测到实验数据中每次选择的是A还是B

解：直接计算实验数据，A硬币、B硬币出现正面的频率作为概率即可，即
$$\begin{gathered} {\theta }_A=24/(24+6)=0.80 \\ {\theta }_B=9/(9+11)=0.45 \end{gathered}$$

2. 情况b：实验数据对A和B的选择是未知的。

• 算法思想：
  此处引入了隐变量：硬币的种类$Z$​
  使用EM算法，我们首先需要假定我们运算的目标的初始值
  $$\begin{gathered} {\hat{\theta }}_A^{(0)}=0.6 \\ {\hat{\theta }}_B^{(0)}=0.5 \end{gathered}$$
  ​ 之后使用上述值对$Z$的分布做最大似然估计（这也就是E步）。
  ​ 估计出$Z$后，我们使用z去对$\theta$进行最大似然估计，得到新的$\theta$（也就是M步）
  ​ 重复上述E步、M步，直到$\theta$即为我们的解

• 详细解决过程：

  E步

  我们以第一轮掷硬币为例（其他类比做同样的运算）：

  $HTTTHHTHTH$即5次朝上，5次朝下

  如果是硬币A，出现上述情况的概率为$p_A={\theta }_A^5(1-{\theta }_A{)}^5=0.0007962624$

  如果是硬币B，出现上述情况的概率为$p_B={\theta }_B^5(1-{\theta }_B{)}^5=0.0009765625$

  那么在第一轮掷硬币时，该硬币为A的概率为$p_A/(p_A+p_B)=0.45$

  该硬币为B的概率为$p_B/(p_A+p_B)=0.55$

  所以五轮计算下来结果如下表：

  轮次	是硬币A的概率	是硬币B的概率
  1	0.45	0.55
  2	0.80	0.20
  3	0.73	0.27
  4	0.35	0.65
  5	0.65	0.35

  那么根据该表，我接下来要对$\theta$进行求解。与第一题的情况类似，我们首先使用这种概率，计算出每轮如果是A的期望，以及每轮是B的期望，然后直接用算出的值模拟A、B硬币出现正面的频率。

  M步

  轮次	若为硬币A出现的情况	若为硬币B出现的情况
  1	2.2H,2.2T	2.8H,2.8T
  2	7.2H,0.8T	1.8H,0.2T
  3	5.9H,1.5T	2.1H,0.5T
  4	1.4H,2.1T	2.6H,1.9T
  5	4.5H,1.9T	2.5H,1.1T

  此时分别计算硬币A、硬币B出现正面的概率，则为新的$\theta$值。即
  $$\begin{gathered} {\hat{\theta }}_A^{(1)}=(21.3)/(21.3+8.6)\approx 0.71 \\ {\hat{\theta }}_B^{(1)}=(11.7)/(11.7+8.4)\approx 0.58 \end{gathered}$$
  之后重复E步、M步，最后收敛至
  $$\begin{gathered} {\hat{\theta }}_A=0.80 \\ {\hat{\theta }}_B=0.52 \end{gathered}$$

三、总结

也就是说，我们在求解我们的最终结果时发现有隐变量导致无法计算。我们可以先假设我们知道结果，然后通过结果求出隐变量取值，再用该隐变量作为已知条件求出结果。这个过程第一次看会觉得有技巧性，我们可能会去想这样做科学吗？怎么保证最后迭代的结果是我们想要的，或者说迭代结果趋于不变呢，这就要看EM算法本身收敛性的证明了。（主要用到了琴生不等式，这里不进行推导）