计算机图像处理之几何畸变矫正

三维几何变换的透视变换简介

把空间坐标系中的三维物体或对象转变为二维图像表示的过程称为投影变换。根据视点（投影中心）与投影平面之间距离的不同， 投影可分为平行投影和透视投影， 透视投影即透视变换。

平行投影：视点（投影中心）与投影平面之间的距离为无穷大；而对于透视投影（变换），此距离是有限的。

与平行投影相比，透视投影的深度感更强，看上去更真实，但透视投影不能真实地反映物体的精确尺寸和形状。

对于透视投影，不平行于投影面的平行线的投影会聚集到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点又称为主灭点。因为有x,y和z三个坐标轴，所以主灭点最多有3个。

一点透视变换

其他变换

图像几何变换的一个重要应用是消除由于摄像机导致的数字图像的几何畸变。
通过计算机图像处理系统将几何失真的图像恢复到正常状态， 即为图像畸变的几何校正。
几何变换的另一个应用是对相似的图像进行配准以便进行图像比较， 典型的应用是利用图像相减来检测运动或变化。

非矩形像素坐标的转换（课外扩展）

图像卷绕（课外扩展）

图像卷绕是通过指定一系列控制点的位移来定义空间变换的图像变形的处理技术， 非控制点的位移则通过控制点进行插值处理。
图像卷绕操作一般包括控制点选择及插值处理两个部分，其处理过程如图4-39所示。

应用实例——几何畸变的校正

① 图像空间像素坐标的几何变换——空间变换
② 变换后的标准图像空间的各像素灰度值的计算——灰度值计算

几何畸变校正流程

建立校正函数，即建立几何校正的数学模型；再利用已知条件确定模型参数；最后利用模型对图像进行几何校正。

1) 几何畸变的描述

2) 已知gu(x，y)和gv(x，y)的解析表达式

希望从几何畸变图像g(u,v) 去恢复基准几何坐标的图像f(x,y)。

直接法：

得到 g(u， v) →f(x，y) 一幅校正图像。

这样得到的校正图像，其象素分布是不规则的，会出现象素挤压、疏密不均等现象，不能满足要求。因此最后要对不规则图像通过灰度内插生成规则的栅格图像。

间接法：

间接成图法首先从空白的输出图像阵列（校正后的图像）
出发建立空间转换关系。（x,y）→（u，v）

则得到校正图 f(x，y)=g(u，v)。

由于计算的（u， v）不一定刚好位于畸变图像的某个像素中心上， 所以必须经过灰度插值确定（u， v）的灰度值。

例子

实际应用中常使用多项式来表达校正前后相应控制点对之间的坐标关系。 重采样成图法采用的二元多项式数学模型为

实际中常利用一次多项式、 二次多项式和三次多项式进行几何校正。

利用上述技术， 对具有桶形畸变和透视畸变的图像进行几何畸变校正的结果如下图：

学习要求

1）熟悉各种图像几何变换矩阵表示，明确在正反变换下的图像像素位置的对应，以及变换结果图像像素值的确定方法（最近邻、双线性插值，有兴趣的同学可探讨更多的高阶插值方法）

2）编程实现图像缩放、图像平移、图像旋转、图像复合变换

3）编程实现几何畸变的校正方法