exgcd

$exgcd$一般是用来求解$ax+by=c$这样的方程的。

首先，我们可以证明$ax+by=\gcd (a,b)$。证明如下：

假设我们已经证得$b{x}^{\prime }+(amodb)y^{\prime }=\gcd (b,amodb)(amodb\ne 0)$
$$\begin{array}{rl}ax+by& =\gcd (a,b)\\ ax+by& =\gcd (b,amodb)\\ ax+by& =b{x}^{\prime }+(amodb)y^{\prime }\\ & =b{x}^{\prime }+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)y^{\prime }\\ & =b{x}^{\prime }+a{y}^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b{y}^{\prime }\\ & =a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime })\end{array}$$

得$ax+by=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime })$

$\{\begin{array}{c}x=y^{\prime }\\ y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }\end{array}$

当$amodb=0$时，$ax+by=\gcd (a,b)=b$，所以此时$x=0,y=1$

所以$ax+by=\gcd (a,b)$是有解的，那么当$gcd(a,b)|c$时，$ax+by=c$也是有解的，递归求解即可。

code

void exgcd(int a,int b){
	if(b==0){
		x=1;y=0;d=a;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}

例题

P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)

#include
using namespace std;
int t;
long long x,y,d;
void exgcd(int a,int b){
	if(b==0){
		x=1;y=0;d=a;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	long long t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
int main()
{
	long long a,b,c,vk,v1,v2,v3,v4;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		exgcd(a,b);
		if(c%d>0){
			printf("-1\n");
			continue;
		}
		x=x*c/d;y=y*c/d;
		a/=d;b/=d;
		if(y<0){
			vk=-y/a;
			x-=vk*b;y+=vk*a;
		}
		while(y<=0){
			x-=b;y+=a;
		}
		if(x<0){
			vk=-x/b;
			x+=vk*b;y-=vk*a;
		}
		while(x<=0){
			x+=b;y-=a;
		}
		if(x>0&&y>0){
			vk=x/b;
			x-=vk*b;y+=vk*a;
			if(x==0){
				x+=b;y-=a;
			}
			v1=x;v4=y;
			vk=y/a;
			x+=vk*b;y-=vk*a;
			if(y==0){
				x-=b;y+=a;
			}
			v3=x;v2=y;
			printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n",(v3-v1)/b+1,v1,v2,v3,v4);
		}
		else{
			v1=x;
			vk=-y/a;
			y+=vk*a;x-=vk*b;
			while(y<=0){
				x-=b;y+=a;
			}
			v2=y;
			printf("%lld %lld\n",v1,v2);
		}
	}
	return 0;
}