凸优化及拉格朗日对偶问题

只记录机器学习方法中需要用到的最优化知识，不做系统总结，持续更新ing。

1 凸优化

1、凸集

      一个点集或者区域，如果连接任何两点X1.X2之间的线段可以全部被包含在该集合里面，就称该点集为凸集，否则为非凸集。

2、凸性条件

• 1 根据一阶导数（函数的梯度）来判断凸性
  设f(x)为定义在凸集R上，且具有连续的一阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸集R内任意不同两点x1,x2，有不等式恒成立：
  

• 2 根据二阶导数（Hesse矩阵）来判断凸性
  设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件：
  Hesse矩阵在R上处处半正定

3、凸规划

      对于约束问题：

4、凸规划性质

• 若给定一点x0，则集合R={x|f(x)<=f(x0)}为凸集
• 可行域R={x|g(x)<=0,j=1,2…}为凸集
• 凸规划的任何局部最优解就是全局最优解

5、凸优化问题

      凸优化问题是指约束最优化问题：

      其中，目标函数f(w) 和约束函数gi(w)都是Rn上连续可微的凸函数，约束函数hj(w)是Rn上的仿射函数。当目标函数为二次函数，g函数为仿射函数时，为凸二次规划问题。

2 拉格朗日函数及其对偶问题

1、拉格朗日函数（含KKT条件）

      最优化问题根据约束条件分为三类（无约束、等式约束、不等式约束）

1)对于"无约束"优化问题：
       比较简单，令偏导数=0，联立方程组得到的点就可能是极值点（只是必要条件），在具体带入函数判断即可。对于有约束问题都是通过构造拉格朗日函数来进行求解。

2)对于等式约束问题：

构造拉格朗日函数：

      其中，每个约束条件都对应着一个拉格朗日乘子。
拉格朗日函数对x求偏导即得到：

3)对于“等式约束”+“不等式约束”优化问题

最终要转换为无约束的简单问题，分为两步：
- 1.把不等式约束转换为等式约束：引入松弛变量（KKT算子）
- 2.把等式约束转换为无约束的优化条件：引入拉格朗日乘子
构造出拉格朗日函数为：

      其中，阿尔法和贝塔就是引入的KKT算子和拉格朗日乘子。
接下来就是对无约束优化问题求偏导来找极值点，即得到KKT条件（必要条件）
      KKT条件：
KKT条件详解

2、拉格朗日对偶问题

      已知构造的拉格朗日函数为：

      显然其中：

      考虑极小问题：

这就是原问题的拉格朗日函数极小极大问题。

      引入KKT乘子和拉格朗日算子当作参数，关于x取最小值为：

      则有：

      这就是拉格朗日函数的极大极小问题，也是原问题的对偶问题。显然可以推导出：对偶问题的最优解是原问题的一个下界。

1. 当满足KKT条件时，原始问题和对偶问题的可行解X星和a，b是两个问题的解，通过列出KKT条件的方程，即可得到原始问题的解。
2. 当：
   
   原始问题和对偶问题的可行解X星和a，b是两个问题的最优解。
3. 强对偶和弱对偶