欧拉公式及其推导

在上一篇文章《虚数i与欧拉公式》中我介绍了虚数i的实际意义以及它在本人课题上的一些应用，同时在文章的结尾简单介绍并使用了欧拉公式进行了分数阶微积分的实际验证。在这一篇文章中我们将详细介绍欧拉公式及其推导。
首先先给出欧拉公式：$$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$$将实数作为横轴，虚数作为纵轴，欧拉公式用在复平面表示如下：

而当此时的x取圆周率Π时可以得到欧拉恒等式：$$e^{i\pi }+1=0$$欧拉恒等式被誉为是数学上最优美的公式之一，因为它将自然常数e、圆周率$\pi$、虚数i、自然数0，1和两个基本运算符+，=连接在了一起，从而被认为是上帝写下的音符。
要介绍欧拉公式的推导首先我们先得介绍自然常数e，现在先给出自然常数的公式，自然常数e所代表的意义及其推导我会在下一次的公众号文章中和大家继续讨论~ 哈哈哈，好吧，先简单给出e的公式，e在我们学习高数数列极限时就有给出，假如各位看官有用过张宇的《高数18讲》会在书的24页注例三中找到自然底数的定义：(特意去翻了张宇高数18讲，就是这么无聊，emmm)

$$e^x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$$有了自然常数e的公式之后代入欧拉公式可以得到：$$e^x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}i\right)}^n$$
在开始推导之前，我们不急着直接利用极限的知识进行直接的数学推导，我们先对上述公式进行一个直观的简单的理解。通过上次文章我们知道虚数i代表的含义就是旋转，i的本质就是一个旋转量，那么$1+x\ast i/n$代表的就是一个在复平面上实轴为1，虚轴为$x/n$的复数，也可以看做是模为$\sqrt{1+(x/n{)}^2}$,相角为$\angle x/n$的复数。我们知道，多个复数的乘积就是模相乘，相角相加所得到的复数。而n个这样的复数相乘即是一个相角不断叠加的过程，而且x越大，相角增加的越大。通过以上描述，我们应该能够将其与欧拉公式复平面图像有所联系起来。
接下来我们对欧拉公式做一个定量的推导，首先我们将$1+x\ast i/n$表示为$A\angle a$的形式后可以得到:$$e^{ix}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}i\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\sqrt{1+{\left(\frac{x}{n}\right)}^2}\angle \frac{x}{n}\right)}^n$$对于相角的n次方乘法我们可以很轻易的得到：$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\angle \frac{x}{n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\angle \frac{x}{n}\ast n=\angle x$$而对于模的n次方乘法则需要运用洛必达法则来进行求解，由于公式较多，则以下推导过程展示为图片的方式，推导如下：

通过上诉推导就可以得到欧拉公式：$$e^{ix}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}i\right)}^n=\angle x=\cos (x)+i\sin (x)$$欧拉公式到此全部推导完毕，这就是欧拉公式的来源与解释，各位看懂了么？看懂了还在等什么，点个赞再走呗~~