Hesse矩阵极大极小值判断

正定矩阵：

1. n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
2. n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3. n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。

负定矩阵：

1. n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

2. n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

3. n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

由于A是负定的当且仅当-A是正定的

半正定矩阵:

1. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

2. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

3. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。

半负定矩阵:

1. n阶对称矩阵A是半负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于等于零，但至少有一个特征值等于零。

2. 只要-A是半正定，则A就是半负定

极大值、极小值判断

函数在某点一阶导数为0，二阶Hesse矩阵为正定矩阵，则该点为严格极小值点

函数在某点一阶导数为0，二阶Hesse矩阵为负定矩阵，则该点为严格极大值点

函数在某点一阶导数为0，二阶Hesse矩阵不定，则该点为鞍点
$$例如{\nabla }^{2}f(x)=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right]{\nabla }^{2}f(x)=\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]都是不定Hesse矩阵$$