概率论与数理统计学习：数字特征（二）——知识总结与C语言实现案例

hello，大家好

这里是第11期概率论与数理统计的学习，我将用这篇博客去总结知识点和用C语言实现简单例题的过程。

本期知识点：方差

1. 方差的定义
2. 方差的性质
3. 几种常用随机变量的方差

知识总结

☁️ 方差的定义

方差刻画了随机变量取值在其中心位置附近的分散程度，即随机变量取值与平均值的偏离程度。

设随机变量$X$的期望为$E(X)$，为了刻画偏离程度的大小，用$E[|X-E(X)|]$作为描述$X$取值分散程度的数字特征，称之为$X$的平均绝对差。

但由于在数学上绝对值的处理很不方便，因此常用$[X-E(X){]}^2$的平均值度量$X$与$E(X)$的偏离程度，这个平均值就是方差。

定义：设$X$为一随机变量，如果$E\{|X-E(X){]}^2\}$存在，则称之为$X$的方差，记为$Var(X)$，有时也记为$D(X)$。即$$Var(X)=E\{[X-E(X){]}^2\}$$
并称$\sqrt{Var(X)}$为$X$的标准差。

再将上式做一个变换，可得$$Var(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

☁️ 方差的性质

1. $c$为常数，则$$Var(c)=0$$
   $$Var(X+c)=Var(X)$$

2. 设$k$为常数，则$$Var(kX)=k^{2}Var(X)$$

3. 设$X$与$Y$相互独立，则
   $$Var(X\underline{+}Y)=Var(X)+Var(Y)$$

4. 设随机变量$X$的期望和方差分别为$E(X)$和$Var(X)$，则$Y=\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}$的期望和方差为$$E(Y)=0,Var(Y)=1$$
   这里称$Y$为$X$的标准化的随机变量。
   即：
   $X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$
   $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$~$N(0,1)$

☁️ 几种常用随机变量的方差

1. 两点分布

设$X$服从参数为$p$的两点分布，有$E(X)=p$，则
$$Var(X)=p(1-p)$$

2. 二项分布

设$X$~$B(n,p)$，$X=X_1+X_2+...+X_n$，则
$$Var(X)=Var(X_1)+Var(X_2)+...+Var(X_n)=np(1-p)$$

3. 泊松分布

设$X$~$P(\lambda )$，则
$$Var(X)=\lambda$$

4. 均匀分布

设$X$~$U[a,b]$，则
$$Var(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

5. 指数分布

设$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，则
$$Var(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

6. 正态分布

设$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$，则
$$Var(X)={\sigma }^2$$

C语言实现案例

1. 设离散型随机变量$X$的概率分布是$P\{X=0\}=0.2,P\{X=1\}=0.5,P\{X=2\}=0.3$，求$Var(X)$。

题目分析：因为是离散型的，所以直接按照公式来即可。

#include 
#include 
#include 
typedef struct
{
	int X;
	float p;
}Variate;

// The algorithm of variance ——离散型随机变量方差的算法
float D(Variate *b,int pos)
{
	float sum1 = 0,sum2 = 0;
	for(int i = 0 ; i < pos ; i++)
	{
		sum1 += b[i].p * b[i].X;
		sum2 += pow(b[i].X,2) * b[i].p;
	}
	return sum2 - pow(sum1,2);
}


int main()
{
	printf("-----------------------------Read-in datas-------------------------------------\n");	// 读入数据
	// Use pos to judge the number of the datas ——用pos表示数据的个数（一个结构体代表一个数据）
	int pos = 0;
	// Use sign to be the condition of the circle ——用sign作为循环判断的条件
	int sign = 1;
	// It can be regarded as head pointer ——可以把var当作一个头指针
	Variate* var = NULL;
	// And view a as the pointer to move ——把a看作用来移动的指针
	Variate* a = NULL;
	while(sign == 1)
	{
		// Allocate spaces dynamically ——动态分配内存空间
		var = (Variate *) realloc (var,sizeof(Variate));
		a = var;
		// The pointer is moving ——这个指针在移动
		a += pos;
		printf("Please input the value of X:");						// 请输入X的值
		scanf("%d",&a->X);
		printf("Please input the probability of the X:");			// 请输入X的概率
		scanf("%f",&a->p);
		pos++;
		printf("\n");
		printf("Do you want to end up reading in?If so input 0,else input 1------------:"); // 你是否想结束读入数据？若是，输入0，不是则输入1
		scanf("%d",&sign);
	}
	printf("-----------------------------Stop reading--------------------------------------\n");		// 停止读取
	printf("The probability distrubution is :\n");					// 概率分布为：
	for(int i = 0 ; i < pos ; i++)
	{
		printf("P{X=%d}=%.2f\n",var[i].X,var[i].p);
	}
	float result = D(var,pos);
	printf("-------------------------------------------------------------------------------\n");
	printf("\n");
	printf("Var(X)=%.2f",result);
	return 0;
}

代码分析：虽然这个题目十分简单，但是我们可以用代码将做题的这个过程丰富起来。写这个代码的时候的主要难度就在于指针的问题，因为动态分配内存空间时，var指针是一直不变的，始终指向分配的第一块内存空间，所以我们需要另设一个指针a来移动，实现对每个分配的空间的赋值。所以需要注意的就是指针与指针之间的关系。

2. 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.01，0.02，0.03，设各部件的状态相互独立，用$X$表示同时需要调整的部件数，求$E(X)$和$Var(X)$。

题目分析：由各部件的状态相互独立可以知道，$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)$，$Var(X)=Var(X_1)+Var(X_2)+Var(X_3)$。进而每个部件只有两种情况，所以每个部件符合一次实验的二项分布，即$X_1$~$B(1,0.01)...$

#include 
#include 
#include 
typedef struct
{
	int X[2];				// Each X has two values ——每个X有两个值
	float p[2];				// Each X corresponds to a probability ——每个X对应于一个概率
}Data;

// The algorithm of Expectation and Variance ——期望和方差的算法
// Here I calculate them through the cognitions ——这里我用概念法计算的
void D(Data* d,int len)
{
	float sum1 = 0,sum2 = 0;
	for(int i = 0 ; i < len ; i++)
	{
		for(int j = 0 ; j < 2 ; j++)
		{
			float a = d[i].X[j] * d[i].p[j];
			sum1 += a;
			sum2 += pow(d[i].X[j],2) * d[i].p[j];
			sum2 -= pow(a,2);
		}
	}
	printf("E(X)=%.2f\n",sum1);
	printf("Var(X)=%.4f\n",sum2);
}

int main()
{
	Data* d = NULL;
	Data* a = NULL;
	int len;
	printf("Please input the number of the units(which is regarded as the variate 'X'):");			// 请输入部件的数量（X的数量）
	scanf("%d",&len);
	printf("Each unit(Each X) has two values :0,1\n");												// 每个X有两个值
	d = (Data *) malloc (sizeof(Data) * len);
	// Initiate X ——初始化X
	for(int i = 0 ; i < len ; i++)
	{
		d[i].X[0] = 0;
		d[i].X[1] = 1;
	}
	printf("\n");
	printf("Now we need to input the values of the probability of each condition of each X:\n");	// 现在我们需要输入每个X的每个值对应的概率
	for(int i = 0 ; i < len ; i++)
	{
		// Xi=1的概率
		printf("Input P{X%d=1}=",i + 1);
		scanf("%f",&d[i].p[1]);
		// Xi=0的概率
		d[i].p[0] = 1 - d[i].p[1];
	}
	printf("\n");
	for(int i = 0 ; i < len ; i++)
	{
		printf("P{X%d=%d}=%.2f\n",i + 1,d[i].X[0],d[i].p[0]);
		printf("P{X%d=%d}=%.2f\n",i + 1,d[i].X[1],d[i].p[1]);
		printf("\n");
	}
	D(d,len);
	return 0;
}

代码分析：主要是一个数据存储的问题，你可以用数组，也可以用结构体来实现。然后其它方面跟上面的代码差不多，然后就是具体算法需要仔细跟数学算式比对，用代码一步一步地去实现每一个步骤。

这一期的学习就到这里了，咱们下期再见~~