概率论与数理统计学习：随机向量（三）——知识总结与C语言实现案例

hello，大家好

这里是第八期概率论与数理统计的学习，我将用这篇博客去总结这期的知识点以及实现用C语言去做题的过程。

本期知识点：

1. 条件分布

• 条件分布的概念
• 离散型随机变量的条件概率分布
• 连续型随机变量的条件概率密度

2. 随机变量的独立性

那么首先进入知识总结的环节

条件分布

☁️ 条件分布的概念

请大家先回忆一下，我们最开始是不是也学过这个啥条件的东西？

对的，在前面的那叫条件概率，是对随机事件而言的，因为那时还没引入随机变量。（在这里呢大家可以看看前面那期有关条件概率的博客$\to$条件概率）

注意了嗷，但这个知识点的标题是条件分布，其实两者概念上是差不多的，只是针对的知识点不同而已。

那么什么是条件分布呢？“分布”一词是与随机变量绑定在一起的，所以，也就是说条件分布一定是与随机变量有关的。

定义：设有两个随机变量$X$和$Y$，在给定了$Y$取某个值或某些值的条件下，$X$的分布称为$X$的条件分布。同时也要注意❗️，这两个随机变量是有联系的，即它们之间可以构成随机向量的关系。

既然概念已经搞清楚了，又因为它还是涉及到随机变量，而我们所学习的随机变量又分为两种情况：离散型和连续型。所以下面又是对这两种情况分别讲解。

☁️ 离散型随机变量的条件概率分布

首先，我们需要借鉴一下下条件概率的知识点。对于两个事件$A$和$B$，我们知道在$B$已发生的条件下$A$发生的概率的求法为：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，它表示的是$A、B$同时发生的概率除以$B$发生的概率。

那么根据这个知识点，我们可以推出，对于给定$Y$值，求$X$的分布列的求法为：$X、Y$两个值都给定的概率（对照上面的说法），除以$Y$给定值的概率（就是不管$X$的值是多少），即$$P\{X=x_i|Y=y_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_i\}}{P\{Y=y_i\}}$$
是不是这样子捏？

又由上一节可以知道啊，$P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij}$，$P\{Y=y_i\}=p_{\cdot j}$。于是

定义：对于给定的$j$，在$Y=y_j$条件下随机变量的条件概率分布为：$$P\{X=x_i|Y=y_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}i=1,\mathrm{2...}$$
同样，对于给定的$i$，在$X=x_i$条件下随机变量的条件概率分布为：$$P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }}j=1,\mathrm{2...}$$

那么离散型随机变量的条件概率分布就搞定啦！

☁️ 连续型随机变量的条件概率密度

注意注意噢！上一个标题是条件概率分布，这个标题是条件概率密度了，这是为啥？

概率分布是离散型随机变量的性质，概率密度是连续型随机变量的性质（把离散型和连续型分清楚就好了）。

对于一个随机变量的给定值，求它的概率在连续型这是行不通的，由连续型随机变量的性质可知：对任意$x,y$，$P\{X=x\}=0,P\{Y=y\}=0$。所以我们这里要把这个点扩散到一个范围，使它“连续”。也就是使这个点处于一个很小很小很小的一个范围内就行了。总之就是要使它有个范围！

定义：给定$y$，设对于任意固定的$ϵ>0$，$P\{y-ϵ<Y\le y+ϵ\}>0$，且若对于任意实数$x$，极限$$\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }P\{X\le x|y-ϵ<Y\le y+ϵ\}=\underset{ϵ\to 0+}{\lim }\frac{P\{X\le x,y-ϵ<Y\le y+ϵ\}}{P\{y-ϵ<Y\le y+ϵ\}}$$
存在，则称此极限为在条件$Y=y$下$X$的条件分布函数，记为$P\{X\le x|Y=y\}$或$F_{X|Y}(x|y)$。

同样注意注意！

到这里，我们先清楚清除，这期的标题：连续型随机变量的条件概率密度，据我所知，概率密度好像是一个类型$f(x)$这样的“$f$”开头的函数吧？

OK，从上面定义的结论可知，我们得到了条件分布函数，又由前面的知识可知啊，条件分布函数的导数就是概率密度函数（大概是这样，具体情况具体分析），也就是说有$$F_{X|Y}(x|y)={\int }_{-\infty }^x{f}_{X|Y}(u|y)du$$
那么，这个$f_{X|Y}(x|y)$就是我们要找的概率密度函数啦！（上面的$u$是为了区分变量$x$和值$x$）

好了，真正的定义它来了！！

定义：设二维连续型随机变量$(X,Y)$的概率密度函数为$f(x,y)$，$Y$的边缘概率密度函数为$f(y)$，若$f(x,y)$在点$(x,y)$处连续，$f(y)$在$y$处连续，则有：$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}$$
同样的有：$$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f(x)}$$
这里就不对它们进行证明咯，有兴趣的大家下去了解吧！

随机变量的独立性

之前我们学过了两个随机事件的相互独立性，可表示为$P(AB)=P(A)P(B)$

那么又来对比，$P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}$，而这个式子又可以写成为$$F(x,y)=F(x)F(y)$$
通常在题目中，有可能要根据$F(x,y)$求$F(x)$或$F(y)$，这里可以介样子求：$F(x)=F(x,+\infty )$，然后带入$+\infty$到$y$中即可，同理可求得$F(y)$。

（别问为啥要说一下这个，问就是今天做题想了半天）

由前面的知识可知，分布函数是随机变量（随机向量）的特性，也就是说适用于离散型和连续型，于是乎，下面又要分两种情况来介绍~~

不过这次就比较简单易懂了。

☁️ 离散型随即变量的独立性

依照随机事件的独立性直接给出公式：$$P\{X=x_i,Y=y_i\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_i\}$$

☁️ 连续型随机变量的独立性

$$f(x,y)=f(x)f(y)$$

时刻牢记离散型于连续型的区别和特性！！！！！！

C语言实现案例

先来一个简单的练练手

1. 设二维随机向量$(X,Y)$的概率分布如下表所示，它的条件概率分布

X\Y	0	2	5
1	0.15	0.25	0.35
3	0.05	0.18	0.02

题目分析：做题的话这个题直接按照公式套就行了，十分简单

#include 
#include 
int main()
{
	float **XY;				// use a two-dimensional array to restore the probability of (X,Y) ——用二维数组来存储(X,Y)的概率分布
	int row;				// 行
	int column;				// 列
	printf("Please input the values of the row and column:");	// 请输入行和列的值 		
	scanf("%d,%d",&row,&column);
	printf("\n");
	// allocate space for the two-dimensional array ——为二维数组分配空间
	XY = (float **) malloc (sizeof(float *) * row);
	// allocate space for the columns of each line ——为每一行分配列的空间
	for(int i = 0 ; i < row ; i++)
		XY[i] = (float *) malloc (sizeof(float) * column);
	printf("Please input the datas according to the line:\n");	// 请按行输入数据
	for(int i = 0 ; i < row ; i++)
	{
		for(int j = 0 ; j < column ; j++)
		{
			scanf("%f",*(XY + i) + j);
		}
	}
	// use two arraies X and Y to restore the serial numbers of X and Y ——用两个一维数组去存储X、Y的序号
	int *X = (int *) malloc (sizeof(int) * row);
	int *Y = (int *) malloc (sizeof(int) * column);
	printf("Please input the serial numbers of X:");	// 请输入X的序号
	scanf("%d,%d",X,X + 1);
	printf("Please input the serial numbers of Y:");	// 请输入Y的序号
	scanf("%d,%d,%d",Y,Y + 1,Y + 2);
	printf("\n");
	printf("The distribution of (X,Y) is:\n");    		// (X,Y)的概率分布为
	for(int i = 0 ; i < row ; i++)
	{
		for(int j = 0 ; j < column ; j++)
			printf("%.2f ",XY[i][j]);
		printf("\n");
	}
	printf("\n");
	// start to calculate according to the distribution of conditional probability ——开始按照条件概率分布计算
	for(int i = 0 ; i < row ; i++)
	{
		float sum = 0;
		for(int j = 0 ; j < column ; j++)
			sum += XY[i][j];
		for(int j = 0 ; j < column ; j++)
		{
			float p = XY[i][j] / sum;
			printf("P{Y=%d|X=%d}=%.3f\n",Y[j],X[i],p);
		}
	}
	
	for(int j = 0 ; j < column ; j++)
	{
		float sum = 0;
		for(int i = 0 ; i < row ; i++)
			sum += XY[i][j];
		for(int i = 0 ; i < row ; i++)
		{
			float p = XY[i][j] / sum;
			printf("P{X=%d|Y=%d}=%.3f\n",X[i],Y[j],p);
		}
	}
	return 0;
}

代码分析：整体来说代码都挺简单的，就是在输出的时候，$X$的值不是0，1而是1，3，$Y$的值不是0，1，2而是0，2，5。这里呢我们就需令设两个数组来存储它们的序号。

2. 求上题中的$X$和$Y$是否相互独立？

题目分析：将数据带入公式判断即可。

#include 
#include 
#include 
int main()
{
	int row;
	int column;
	printf("Please input the values of row and column:");
	scanf("%d,%d",&row,&column);
	float **XY;
	XY = (float **) malloc (sizeof(float *) * row);
	for(int i = 0 ; i < row ; i++)
		XY[i] = (float *) malloc (sizeof(float) * column);
	printf("Then please input the datas:\n");
	for(int i = 0 ; i < row ; i++)
		for(int j = 0 ; j < column ; j++)
			scanf("%f",&XY[i][j]);
	printf("The distrubution of (X,Y) is displayed as below:\n");
	for(int i = 0 ; i < row ; i++)
	{
		for(int j = 0 ; j < column ; j++)
		{
			printf("%.2f ",XY[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	printf("\n");
	bool pos = true;
	int i = 0,j = 0;
	while(pos == true && i < row && j < column)
	{
		float sum1 = 0,sum2 = 0;
		for(int k = 0 ; k < column ; k++)
			sum1 += XY[i][k];
		for(int k = 0 ; k < row ; k++)
			sum2 += XY[k][j];
		if(sum1 * sum2 != XY[i][j])
			pos = false;
		i++;
		j++;
	}
	if(pos == true)
		printf("X and Y are relatively independent."); // X和Y相对独立
	else
		printf("X and Y aren't relatetively independent."); // X和Y不相互独立
	return 0;
}

代码分析：代码其实跟上个题差不多的，就是算题的方法不太一样。

这期学习就到这里啦，下期再见