机器学习-总结笔记-决策树-ID3/C4.5/CART

鉴于这个机器学习在课上就没咋听明白过，自己慢慢啃吧。。。内容来自西瓜书和学校课件。

决策树概述

• 可以处理分类问题也可以处理回归问题；分类问题看比例、回归问题看均值。
• 目的是找到泛化能力强即处理未见示例能力强的模型。

信息增益&信息熵

信息熵

• 信息熵：公式：− ∑ × 2 （ = 1,2, … , ）
  是整个数据集中 出现的概率（频率）
• 信息熵的值越小，证明数据集的纯度越高。因为熵即是表示随机变量不确定性的度量。

信息增益

• 信息增益：针对整个数据集里的不同划分种类计算出来的熵。
• 示例：

￥	正例	负例	合计
全样本	6	9	15
喜欢A	5	2	7
喜欢B	4	4	8

此时，
整体的信息熵为E(T)：

喜欢A的信息熵为E(TA)：

喜欢B的信息熵为E(TB)：

喜欢A/B这个属性的信息增益为：

• 一般信息增益越大，意味着使用属性来划分所获得的“纯度提升”越大。

基尼指数 Gini index

• 示例：

￥	正例	负例	合计
全样本	6	9	15
喜欢A	5	2	7
喜欢B	4	4	8

Gini = (7/15) * (1 - (5/7)^2 - (2/7)^2) + (8/15) * (1 - (4/8)^2 - (4/8)^2)

剪枝处理 pruning

• 决策树用来“过拟合”的主要手段。

预剪枝 prepruning

• 生成决策树，对每个结点在划分前进行估计，若这次划分不能带来决策树的泛化能力提高，则将这个结点作为叶节点、终止划分。
• 目的：限制深度（其实就是使用的变量个数），叶子节点个数、叶子节点样本数，信息增益量等

后剪枝 postpruning

• 先从训练集生成一颗完整的决策树，再自底向上对非叶节点进行考察，若将某属性的下分支改成叶节点会提高决策树的泛化能力，即替换。
  
  

连续值和缺失值

连续值

• 连续值不能按照取值分类，所以可以基于划分点 t 将数据集分为Dt- (数据集中小于 t )和 Dt+(数据集中大于 t )。
  
• 示例：如[60，70，76，80，82，87，89，90，96，99]
  如果用二分法，则有10个分界点，所以可以按照 >85 和 <=85 分割。

缺失值

• 数据集中某属性的数据如若因为有缺失值就不使用实属浪费，所以把该属性的非缺失值保留进行处理。
  
  

示例步骤：

比如数据集中共有20个值，但非缺失值只有15个。分为ABCD四类。现计算该属性的信息增益。
1）首先求出全属性的信息熵：
Ent = - 正例比例 × 2正例比例 - 负例比例 × 2负例比例
2）求出ABCD四类的信息熵：
Ent(A) = - A正例比例 × 2A正例比例 - A负例比例 × 2A负例比例
BCD类似如上。
3）求非缺失值子集的信息增益：
Gain(子集.属性) = Ent - (Ent( A )+Ent( B )+Ent( C )+Ent( D ))
4）样本集上该属性的信息增益：
Gain(数据集.属性) = 15/20 * Gain(子集.属性)
即，在子集的信息增益上乘以非缺失值/总值的比例。
5）后续：上述过程得出的各个属性的信息增益，取最大信息增益的属性作为决策树的根节点进行划分
6）样本集上该属性的信息增益： 该属性中的缺失值该进入哪个分类呢？
这个该属性缺失值的样本会进入到这个属性的所有分支里，但权重要有所调整，按照各分支占总非缺失值的比例作为权重。

多变量决策树

• 每个非叶节点都是一个线性分类器，不再只针对某个属性，而是对属性的线性组合进行测试。
  

ID3决策树

• 信息增益作为划分属性的标准。
• 从根节点开始，对节点的所有属性计算其信息增益，选择信息增益最大的属性作为节点的特征，由该属性的不同类别建立子节点；直到所有属性的信息增益均很小或没有属性可以选择为止。

C4.5算法

• 采用二分法（bi-partition）对连续属性进行处理。
• 采用增益率作为划分属性的标准。
• 信息增益率：信息增益 / 内在信息；内在信息即是每个属性的信息熵。
• 不是直接选择增益率最大的侯选属性做划分，而是先从划分属性中找出信息增益高出平均信息增益的属性，再从中找出增益率最高的。

示例：

A	B	正负例
喜欢	黑	正例
喜欢	白	正例
不喜欢	红	正例
喜欢	黑	正例
不喜欢	白	正例
喜欢	红	负例
不喜欢	黑	负例
喜欢	红	负例
不喜欢	白	负例

1）获得总信息熵：
Ent = - 正例比例 × 2正例比例 - 负例比例 × 2负例比例
2）获得各属性信息熵：
Ent(A) = - A中正例比例 × 2A中正例比例 - A负例比例 × 2A中负例比例
Ent(B) = - B中正例比例 × 2B中正例比例 - B负例比例 × 2B中负例比例
3）获得各属性信息增益：
Gain(A) = Ent - Ent(A)
Gain(B) = Ent - Ent(B)
4）获得各属性熵：
H(A) = - 喜欢比例 × 2喜欢比例 - 不喜欢比例 × 2不喜欢比例
H(B) = - 黑色比例 × 2黑色比例 - 白色比例 × 2白色比例- 红色比例 × 2红色比例
5）计算信息增益率
IGR(A) = Gain(A) / H(A)
IGR(B) = Gain(B) / H(B)
6）选择节点
哪个属性的信息增益率最高，选择该属性为分裂属性。分裂之后，选择不“纯”的结点继续分裂；若子结点都是纯的，因此子节点均为叶子节点，分裂结束。

CART

• 采用Gini指标作为划分属性的标准。
• 由于CART是做二分类问题的，所以Gini( p ) = 2p(1-p)

示例：

A	B	正负例
喜欢	黑	正例
喜欢	白	正例
不喜欢	红	正例
喜欢	黑	正例
不喜欢	白	正例
喜欢	红	负例
不喜欢	黑	负例
喜欢	红	负例
不喜欢	白	负例

以颜色为例，为了方便书写将颜色中各类别进行赋值，其中黑为1、白为2、红为3。
Gini(D,B=1) = ?
1）黑色的个数为3个，非黑色的个数为6个
2）黑色中正例的个数为2个，负例的个数为1个；非黑色中正例的个数为3个，负例的个数为3个
3）Gini(D,B=1) = 3/9 * [2 * 2/3 * (1- 2/3)] + 6/9 * [2 * 3/6 * (1- 3/6)]

此时，选取基尼系数最小的属性点作为切分点进行决策树的划分。
进行这个最佳属性点的寻找和切分直至
1）结点中的样本个数小于预定阈值，或
2）样本集的基尼指数小于预定阈值、如样本基本属于同一类，如完全属于同一类则为0，或
3）特征集为空。