DynamicProgramming 动态规划
引入：
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
原理：
大家知道动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的，对于刷题来说就够用了。
- 根据经验猜一个「状态定义」，然后根据「状态定义」去推导一个「状态转移方程」。
- 先写一个「记忆化搜索」解法，再将「记忆化搜索」改写成「动态规划」。
为了方便区分这两种方法，我们称第一种解法为**「经验解法」，第二种为「技巧解法」**吧。
模板：
① 解题步骤：
状态转移公式（递推公式）是很重要，但动规不仅仅只有递推公式。
对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
先确定递推公式再考虑dp数组的初始化的原因：因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！
后面做题一直围绕这五点来做。
② dp中的debug：
写动规题目，代码出问题很正常。
找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！
- 做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。
- 然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。
- 如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。
- 如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。
- 这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。
发出bug的时候，其实可以自己先思考这三个问题：
- 这道题目我举例推导状态转移公式了么？
- 我打印dp数组的日志了么？
- 打印出来了dp数组和我想的一样么？
题目实战：
- 确定dp数组以及下标的含义：
- 确定递推公式：
- dp数组如何初始化：
- 确定遍历顺序：
- 举例推导dp数组：
① 基础题目：
动态规划，dp，压缩版——2022年8月16日15:37:38 - 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）
动态规划，dp，爬楼梯——2022年8月16日16:08:09 - 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）
动态规划，dp，爬楼梯——2022年8月16日17:22:26 - 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）
1）路径问题（可视化入门dp）：
【科学派 DP】一份「路径问题从入门到进阶」的究极指南 … (qq.com)
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓== 个人题解如下 ==↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
动态规划，dp，二维dp——2022年8月16日17:41:25 - 不同路径 - 力扣（LeetCode）
动态规划，dp，二维dp——2022年8月16日18:25:22 - 不同路径 II - 力扣（LeetCode）
dp，路径问题，二维dp，路径储存问题！——2022年8月25日15:25:30 - 最小路径和 - 力扣（LeetCode）
dp，二维dp，一维dp，滚动数组——2022年8月25日16:55:15 - 三角形最小路径和 - 力扣（LeetCode）
dp，二维数组——2022年8月25日17:21:54 - 下降路径最小和 - 力扣（LeetCode）
dp，二维dp，回溯操作理解题意，路径问题——2022年8月25日18:47:35 - 下降路径最小和 II - 力扣（LeetCode）
事实上，任何「记忆化搜索」都能改成「动态规划」。
记忆化搜索的实现方式：利用数组来记录已经计算出来的重叠子问题，这个和动态规划的思想非常相似，没错，记忆化搜索其实用的就是动态规划的思想。更加确切的说，可以用如下公式来表示：
记忆化搜索=深度优先搜索的实现+动态规划的思想
记忆化搜索 —— 搜索 or 动态规划 ？ - 知乎 (zhihu.com)
我们需要先有一个「记忆化搜索」解法。所谓的有一个「记忆化搜索」，我们只需要考虑 DFS 函数会如何设计即可，而不需要真正去实现一个「记忆化搜索」。【动态规划/路径问题】强化忽略「状态定义」&「转移方程」来求解 DP 的「技巧解法」
记忆性搜索，转化成动态规划dp——2022年8月26日19:16:03 - 统计所有可行路径 - 力扣（LeetCode）
动态规划dp，从记忆性搜索到dp——2022年8月27日00:56:37 - 出界的路径数 - 力扣（LeetCode）
动态规划dp，二维dp，降维操作——2022年8月27日21:22:38 - 最大得分的路径数目 - 力扣（LeetCode）
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑== 路径问题个人题解如上 ==↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
j怎么就不拆分呢？
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
动态规划，dp，特别的状态方程——2022年8月16日19:01:34 - 整数拆分 - 力扣（LeetCode）
“你想一个dp问题一定不能光想，而是要用笔涂涂画画，先考虑只有一个结点，再考虑两个结点，三个结点，就能发现其实三个结点的答案能由前两个结点的答案推出，自然而然就想到dp了”
就是先找规律，你会发现，这个是从左往右，节点依次当根节点。dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
动态规划，dp，二叉搜索树——2022年8月16日22:13:52 - 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）
② 背包问题：
你的背包问题bgm：
你的背包-陈奕迅(kugou.com)
背包讲解系列链接：
0-1背包问题_兴趣使然的小小的博客-CSDN博客
完全背包问题_兴趣使然的小小的博客-CSDN博客
题解链接：
背包问题题解汇总_兴趣使然的小小的博客-CSDN博客
③ 打家劫舍：
（当然这里还可以把空间优化到O(1)）
居民家一条线段的排布：动态规划，dp——2022年9月2日20:50:19 - 打家劫舍 - 力扣（LeetCode）
居民家围成了一个圈：动态规划，dp——2022年9月2日21:13:13 - 打家劫舍 II - 力扣（LeetCode）
居民家类似二叉树排列（树形dp）：动态规划，树形dp——2022年9月2日22:35:51 - 打家劫舍 III - 力扣（LeetCode）
④ 股票问题：
这些天只能买一次再卖出：贪心，二维dp，一维dp——2022年9月3日18:29:31 - 买卖股票的最佳时机 - 力扣（LeetCode）
这些天能进行多次交易：贪心，二维dp，一维dp——2022年9月3日19:51:52 - 买卖股票的最佳时机 II - 力扣（LeetCode）
这些天能进行最多两次交易：二维dp——2022年9月3日20:26:22 - 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）
这些天要进行最多k次交易：二维dp——2022年9月3日21:22:38 - 买卖股票的最佳时机 IV - 力扣（LeetCode）
进行交易后一天会冷冻一天：二维dp——2022年9月4日01:06:17 - 最佳买卖股票时机含冷冻期 - 力扣（LeetCode）
这些天能进行多次交易（要交手续费）：二维dp，贪心——2022年9月4日01:29:24 - 买卖股票的最佳时机含手续费 - 力扣（LeetCode）
⑤ 子序列问题：
tips：记住，子序列默认不连续，子数组默认连续
tips：有趣的是下面这三个题，dp[i]都是必须包括当前nums[i]的，中间可能就产出最大值了，所以用一个ans来时刻记录最大值。
所求子序列的元素不需要连续：Java，动态规划，子序列问题（不连续）——2022年9月8日23:36:15 - 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）
所求的子序列元素是连续的：Java，动态规划，子序列问题（连续）——2022年9月8日23:56:39 - 最长连续递增序列 - 力扣（LeetCode）
所求的是子数组，是连续的，两个数组：Java，动态规划，连续子序列问题——2022年9月9日00:41:38 - 最长重复子数组 - 力扣（LeetCode）
所求的是子序列，可以不连续，两个数组：Java，动态规划，不连续子序列问题——2022年9月9日19:30:45 - 最长公共子序列 - 力扣（LeetCode）
所求的是不相交线，其实就是上面这个题的copy：Java，动态规划，不连续子序列问题——2022年9月9日22:19:51 - 不相交的线 - 力扣（LeetCode）
所求是最大子数组之和，连续。Java，动态规划，不连续子序列问题，贪心——2022年9月9日22:42:36 - 最大子数组和 - 力扣（LeetCode）
编辑距离（特别篇）：
看看相等的部分长度是不是符合s串：Java，动态规划，不连续子串问题——2022年9月11日22:05:06 - 判断子序列 - 力扣（LeetCode）
待做todo
⑥ 贪心题dp再解决：
待做
总结：
动态规划是一个很大的领域，这一篇是动态规划的整体概述，讲解了什么是动态规划，动态规划的解题步骤，以及如何debug。
因为 DP 是一个递推的过程，因此如果数据范围是 105~106 的话，可以考虑是不是可以使用一维 DP 来解决；如果数据范围是 102~103的话，可以考虑是不是可以使用二维 DP 来做 。
参考链接：
- 代码随想录
- LeetCode
- 【动态规划/总结必看】从一道入门题与你分享关于 DP 的分析技巧 … (qq.com)