【数值分析】二分法求方程的根（附matlab代码）

二分法基本思想

利用连续函数零点定理，将含根区间逐次减半缩小的方式构造点列来逼近根。

二分法步骤

Step1： 计算 f(x) 在有根区间 [a, b] 端点处的值 f(a) 和 f(b)
如何判断有根？可以根据零点定理，若 f(x)∈C[a, b] ，且 f(a) f(b) < 0

Step2： 计算 f(x) 在区间中点 (a+b)/2 处的数值 f((a+b)/2)
开始二分

Step3： 判断 f((a+b)/2) 是否等于0，如果是，则根就是 (a+b)/2 ，计算过程结束，否则继续
提前满足条件就完事了！这一步用我们老师的话来说就是瞎猫碰着死耗子，如果 f((a+b)/2) = 0，可以就此打住，因此这一步不能省！

Step4： 判断 f((a+b)/2) f(a) 是否小于0，如果是，则用 (a+b)/2 代替 b ，否则就用 (a+b)/2 代替 a
进一步缩小区间

Step5： 判断区间[a, b]的长度是否小于允许误差，如果满足条件，则此时 (a+b)/2 即为所求的近似根，否则继续循环 Step2~Step5
由于二分法只能求解根的近似值，如果不设定循环求近似解的终止条件的话会一直求解下去

程序框图

题目要求和初步分析

题目1

用二分法求方程 $x^2-x-1=0$ 的正根，要求误差小于0.05。

分析1

首先令 $f(x)=x^2-x-1=0$，将方程求根问题转为函数求零点的问题。
接着根据正根的性质，初步选定一个区间 [1, 2]，然后验证是否存在零点：
f(1) = -1 < 0，f(2) = 1 > 0，f(1) f(2) < 0，则 [1, 2] 存在零点，可继续进行二分法求解。

Matlab 代码1

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% 简介：用二分法求方程x^2-x-1=0的正根，要求误差小于0.05
% 作者：不雨_亦潇潇
% 文件：dichotomy.m
% 日期：20221009
% 博客：https://blog.csdn.net/weixin_43470383/article/details/127222948
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clear all;
syms x                       % 定义变量
f = @(x) x^2 - x -1;         % 求解方程
a = 1; b = 2;                % 初始的区间上下限
n = 0;                       % 迭代次数
w = 0.05;                    % 误差要求

while f(a) * f(b) < 0        % 存在根
    x_0 = (a+b)/2            % 计算中点，开始二分
    
    if f(x_0) == 0           % 零点即中点
        break;
    end
    
    if f(a) * f(x_0) < 0     % 零点在左边的区间
        b = x_0;
    else                     % 零点在右边的区间
        a = x_0;
    end
    
    n = n+1
    
    if abs(a - b) < w       % 判断是否满足精度条件
        x_0 = (a+b)/2       % 最终得到的近似解
        n = n+1             % 迭代总次数
        break;
    end
    
end

运行结果1

x_0 = 1.5000

n = 1

x_0 = 1.7500

n = 2

x_0 = 1.6250

n = 3

x_0 = 1.5625

n = 4

x_0 = 1.5938

n = 5

x_0 = 1.6094

n = 6

最终求得的根为 1.6094
误差 1.6250 - 1.5938 < 0.05 满足条件

题目2

用二分法求方程 $exp(x)+10\ast x-2=0$ 的根，要求根有3位小数。

Matlab代码2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 简介：用二分法求方程exp(x) + 10*x -2=0的根，要求根有3位小数
% 作者：不雨_亦潇潇
% 文件：dichotomy1.m
% 日期：20221010
% 博客：https://blog.csdn.net/weixin_43470383/article/details/127222948
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clear all;
syms x                      % 定义变量
f = @(x) exp(x) + 10*x -2;  % 求解方程
a = 0; b = 1;               % 初始的区间上下限
n = 0;                      % 迭代次数
w = 0.5*power(10, -4);      % 误差要求

while f(a) * f(b) < 0       % 存在根
    x_0 = (a+b)/2           % 计算中点，开始二分
    
    if f(x_0) == 0          % 零点即中点
        break;
    end
    
    if f(a) * f(x_0) < 0    % 零点在左边的区间
        b = x_0;
    else                    % 零点在右边的区间
        a = x_0;
    end
    
a
b
n = n+1