数据结构之二叉搜索树

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文章目录

• 一、概念
• 二、查找操作
• 三、插入操作
• 四、删除操作
• 五、自实现
• 六、性能分析

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一、概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值

若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值

它的左右子树也分别为二叉搜索树

二、查找操作

若根节点不为空：

如果根节点val = 查找key，则返回true

如果根节点val > 查找key，则在其左子树继续查找

如果根节点val < 查找key，则在其右子树继续查找

否则，返回false

三、插入操作

1.如果树是空树，即root = null，则直接插入即可

2.如果树不是空树，则按照上面查找的逻辑来确定插入的位置，插入新结点。

按照二叉搜索树的性质，查找到插入结点的位置：

root=5 5<10 parent = cur cur = cur.right

root=7 7<10 parent = cur cur = cur.right

root=8 8<10 parent = cur cur = cur.right

root=9 9<10 parent = cur cur = cur.right

四、删除操作

设待删除结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent

1.cur.left == null

     1. cur 是 root，则 root = cur.right

     2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right

     3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right

2. cur.right == null

     1. cur 是 root，则 root = cur.left

     2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left

     3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left

3. cur.left != null && cur.right != null

1. 需要使用替换法进行删除，即在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题

五、自实现

public class BinarySearchTree {
    static class TreeNode{
        public int val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;
        public TreeNode(int val){
            this.val = val;
        }
    }
    public TreeNode root = null;
    public TreeNode search(int val){
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null){
            if (val < cur.val){
                cur = cur.left;
            }else if (val > cur.val){
                cur = cur.right;
            }else {
                return cur;
            }
        }
        return null;
    }

    public boolean insert(int val){
        if (root == null){
            root = new TreeNode(val);
            return true;
        }
        TreeNode parent = null;
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null){
            if (val < cur.val){
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }else if (val > cur.val){
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }else {
                return false;
            }
        }
        TreeNode node = new TreeNode(val);
        if (val < parent.val){
            parent.left = node;
        }else {
            parent.right = node;
        }
        return true;
    }

    public void inorder(TreeNode root){
        if (root == null)return;
        inorder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inorder(root.right);
    }

    public void remove(int val){
        TreeNode parent = null;
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null){
            if (val < cur.val){
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }else if (val > cur.val){
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }else {
                removeNode(parent,cur);
                return;
            }
        }
        return;
    }

    private void removeNode(TreeNode parent, TreeNode cur) {
       if (cur.left == null){
            if (cur == root){
                root = cur.right;
            }else if (cur == parent.left){
                parent.left = cur.right;
            }else {
                parent.right = cur.right;
            }
        }else if (cur.right == null){
            if (cur == root){
                root = cur.left;
            }else if (cur == parent.left){
                parent.left = cur.left;
            }else {
                parent.right = cur.left;
            }
        }else {
            TreeNode target = cur.right;
            TreeNode targetParent = cur;
            while (target.left != null){
                targetParent = target;
                target = target.left;
            }
            cur.val = target.val;
            if (target == targetParent.left){
                targetParent.left = target.right;
            }else {
                targetParent.right = target.right;
            }
        }
    }
}

 六、性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。

但对于同一个数据集合，如果各个数据插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：logN

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：N/2

问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以是二叉搜索树的性能最佳？

可以改进为平衡二叉搜索树，比如AVL树，红黑树等。