泊松积分、伽马函数——公式干货总结

泊松积分

最常用的两个：

${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2}dt=\sqrt{\pi }$

${\int }_0^{\infty }{e}^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

伽马函数

基本结论

$\Gamma (1)=1，\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

性质

$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$

如：$\Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2$

$\Gamma (\frac{3}{2})=\Gamma (\frac{1}{2}+1)=\frac{1}{2}\Gamma (\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

两种形式

1. $\Gamma (n+1)={\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!$

或 $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx=(\alpha -1)!$

如：$\Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2!=2$

2. 令$x=t^2$有第二种形式：

$\Gamma (\alpha )=2{\int }_0^{\infty }{t}^{2\alpha -1}{e}^{-t^2}dt$

如：$2{\int }_0^{\infty }{t}^4{e}^{-t^2}dt=2{\int }_0^{\infty }{t}^{2\cdot \frac{5}{2}-1}{e}^{-t^2}dt=\Gamma (\frac{5}{2})=\Gamma (\frac{3}{2}+1)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \Gamma (\frac{1}{2})=\frac{3\sqrt{\pi }}{4}$

常用公式表