P1433 吃奶酪——dfs+状态压缩剪枝

吃奶酪

题目描述

房间里放着 $n$ 块奶酪。一只小老鼠要把它们都吃掉，问至少要跑多少距离？老鼠一开始在 $(0,0)$ 点处。

输入格式

第一行有一个整数，表示奶酪的数量 $n$。

第 $2$ 到第 $(n+1)$ 行，每行两个实数，第 $(i+1)$ 行的实数分别表示第 $i$ 块奶酪的横纵坐标 $x_i,y_i$。

输出格式

输出一行一个实数，表示要跑的最少距离，保留 $2$ 位小数。

样例 #1

样例输入 #1

4
1 1
1 -1
-1 1
-1 -1

样例输出 #1

7.41

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 15$，$|x_i|,|y_i|\le 200$，小数点后最多有 $3$ 位数字。

提示

对于两个点 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，两点之间的距离公式为 $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$。

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$\mathrm{2022.7.13}$：新增加一组 $\text{Hack}$ 数据。

分析

1. 此题的思路不难，但是想做对挺不容易的，一看n的大小15，就可以想到用全排列，暴力逐个判断走完每个点不同排列方式，找最短距离，但是如果仅仅一个简单的最优性剪枝if (dis >= ans) return;这是不够的，会有一个点TLE；需要用到状态压缩剪枝；
2. 为什么需要状态压缩？ 由于到达某个点的状态有多种情况，比如到达12，可能之前走过1 2 3，也可能走过4 5 6，所以记录状态时，可以用状态压缩，用二进制序列的十进制数来表示每个状态，用一个数组f[][]，一维就是点的编号，二维就是到达该点是的状态(已走过的点组成二进制序列的十进制数)；
3. f数组存了到达不同点所经过的状态，以及他的当前最优值，如果下次换一个状态还到达该点，发现新的状态所用距离不如上一次，就直接continue（不是return，不能顺手直接return，刚开始return卡了我一天找不到错误，可能还是不够理解）,当前 if (f[i][newStatus] != 0 && f[i][newStatus] <= f[lastid][status] + calDis(last, {xx, yy}))不满足，只能说明第i个点新的状态已比较优，不用再通过上一个状态连当前的点，可以去判断下一个点，也就是i++，就不能直接return走；
4. 由于从起点0,0出发，dfs的参数就不能仅仅用lastid去获取上个点的信息（还需要加一个last存上一个点的坐标），比如(0,0)出发，搜第一个点，然后利用i=0,和lastid=0,同时查点，但起始点(0,0)并不是坐标编号为0，就会错误计算；还需要注意坐标为实数，说明还x,y可能为小数，所以double存，不然下面第二轮测试点过不去，WA掉；
   

#include 

using namespace std;

int n;
double x, y;
double ans = 10000000;
vector<pair<double, double>> v;
double vis[20];
//状态记录 d[12][42501] 表示走到编号为12的点，所经过的点的编号为42501二进制序列为1的数
double f[20][33000];

//两个点的距离
double calDis(pair<double, double> p1, pair<double, double> p2) {
    return sqrt((p1.first - p2.first) * (p1.first - p2.first) +
                (p1.second - p2.second) * (p1.second - p2.second));
}

//lastid:上一个坐标的编号，last：上一个点的坐标，status为当前走过的点编号组成的二进制序列的十进制值
void dfs(int u, int lastid, pair<double, double> last, int status, double dis) {
    //剪枝
    if (dis >= ans)
        return;
    if (u == n) {
        ans = min(ans, dis);
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double xx = v[i].first, yy = v[i].second;
        if (!vis[i]) {
            //更新状态，因为加上了i这个点，status + 2^i（1左移i位就是2的i的值）
            int newStatus = status + (1 << i);
            //状态压缩剪枝
            if (f[i][newStatus] != 0 && f[i][newStatus] <= f[lastid][status] + calDis(last, {xx, yy}))
                continue;
            f[i][newStatus] = f[lastid][status] + calDis(last, {xx, yy});
            vis[i] = 1;
            dfs(u + 1, i, {xx, yy}, newStatus, dis + calDis(last, {xx, yy}));
            vis[i] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x >> y;
        v.push_back({x, y});
    }
    dfs(0, 0, {0, 0}, 0, 0);
    printf("%.2lf", ans);
    return 0;
}