【矩阵论】2. 矩阵分解——正定阵分解

矩阵论
1. 准备知识——复数域上的矩阵与换位公式)
1. 准备知识——复数域上的内积域正交阵
1. 准备知识——相似对角化与合同&正定阵
2. 矩阵分解—— SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——乔利斯分解&平方根公式
2. 矩阵分解——正规谱分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规分解
2. 矩阵分解——单阵及特征值特征向量一些求法

---

5.1 乔利斯分解

$$\begin{array}{rl}& 若A>0(正定)，则有A=R^{H}R，其中R=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& & \ast \\ & \ddots & \\ 0& & b_n\end{array}\right)为上三角阵，\\ & 且b_1>0,\cdots ,b_n>0，则A=R^{H}R为乔利斯分解\end{array}$$

证明
$$\begin{array}{rl}& A>0必有可逆阵P，使A=P^{H}P,对P使用QR分解，其中R为上三角，Q为U阵\\ & \Rightarrow A=P^{H}P=(QR{)}^H(QR)=R^H(Q^{H}Q)R=R^{H}R\\ & 可写分解：A=R^{H}R,R=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& & \ast \\ & \ddots & \\ 0& & b_n\end{array}\right)为上三角，且b_1>0,\cdots ,b_n>0\end{array}$$

5.2 平方根分解

$$\begin{array}{rl}& A>0(正定),则有A=B^2,B>0(正定)，且矩阵B唯一\\ & 可写B=\sqrt{A},A=(\sqrt{A}{)}^2\end{array}$$

---

证明
$$\begin{array}{rl}& 对A>0，必有Hermite分解(Q为U阵)：\\ & A=Q\Lambda Q^H,其中\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & {\lambda }_n\end{array}\right),{\lambda }_i>0\\ & 令\sqrt{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{{\lambda }_1}& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \sqrt{{\lambda }_n}\end{array}\right),且\sqrt{\Lambda }为正定阵\\ & 令B=Q\sqrt{\Lambda }{Q}^H\Rightarrow B为正定Hermite阵(\lambda (B)>0)\\ & B^2=(Q\sqrt{\Lambda }{Q}^H)(Q\sqrt{\Lambda }{Q}^H)=Q\Lambda Q^H=A\end{array}$$