董秋仙-2一元函数微分学-1

目录

1. 利用导数的定义
2. 利用切线切点 
3. 使用莱布尼茨公式求高阶导数
4. 利用递推公式求高阶导数
5. 凑出导数的定义
6. 参数方程一阶二阶导数
7. 使用罗尔定理——原函数法
8. ​双中值单函数，先用拉格朗日再凑柯西中值
9. 消元法和拉格朗日乘子法
10. 利用不动点证明函数存在性
11. 费马定理+两次罗尔定理
12. 拉格朗日协助取点+罗尔定理在反证法的应用
13. 洛必达与克莱姆法则
14. 泰勒公式求极限

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利用导数的定义

直接使用四则运算求导公式是错误的，因为现在f(x)的可导性未知

此时应该利用导数的定义

虽然可以直接使用求导公式，但实在是太繁琐了。

虽然导函数不好求，但是我们注意到f(1)是很好求的。这时候可以使用导数的定义

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利用切线切点 

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使用莱布尼茨公式求高阶导数

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利用递推公式求高阶导数

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凑出导数的定义

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参数方程一阶二阶导数

略

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先证第一问。使用零点定理

第二问，

使用罗尔定理——原函数法

可以通过解微分方程，求原函数

但是要注意的是，求解原函数的过程是不需要写在答卷纸上的

直接令G(x)等于我们解出的结果即可

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双中值单函数，先用拉格朗日再凑柯西中值

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二元函数求极值问题

这里给出两种方法

消元法和拉格朗日乘子法

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利用不动点证明函数存在性

反证法。假设存在，先求不动点，再导出矛盾

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注意关键词，“非负”，这意味着两个实根对应的正是极小值点

费马定理+两次罗尔定理

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拉格朗日协助取点+罗尔定理在反证法的应用

证明有两个实根很简单，关键在于如何证明“恰”有两个

直接证明貌似不太容易，可以试试反证法。事实上，如果函数存在3个即以上零点，连续用两次罗尔定理，就会证明函数存在二阶导数为0的点。这显然不符合题意了

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洛必达与克莱姆法则

连续使用两次洛必达，得到以下方程组

 此方程组的系数行列式不为0，根据克莱姆法则，存在唯一一组实数解使得上述极限式成立

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泰勒公式求极限

由于和e^x复合的部分是二次，所以e^x泰勒公式展开到二阶即可